Proper forsing

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Szelach przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980. W 1982, Szelach opublikował monografię przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych.

Definicje

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Szelacha.

Niech $\mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )$ będzie pojęciem forsingu.

Definicja kombinatoryczna

• Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej $lambda,$ rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów $\lambda$ jest oznaczana przez $[\lambda ]^{\omega }.$

(i) Zbiór $X\subseteq [\lambda ]^{\omega }$ jest nieograniczony jeśli dla każdego $y\in [\lambda ]^{\omega }$ możemy znaleźć $x\in X$ taki że $y\subseteq x.$

(ii) Zbiór $X\subseteq [\lambda ]^{\omega }$ jest domknięty jeśli dla każdego ciągu $x_{0}\subseteq x_{1}\subseteq x_{2}\subseteq \ldots \subseteq x_{n}\subseteq \ldots$ (dla $n<\omega$) elementów zbioru $X$ spełniony jest warunek

$\bigcup \limits _{n<\omega }x_{n}\in X.$

(iii) Zbiór $S\subseteq [\lambda ]^{\omega }$ jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem $X\subseteq [\lambda ]^{\omega }$ (tzn. $S\cap X\neq \varnothing$).

• Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów $[\lambda ]^{\omega }$ dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda .$ Innymi słowy, $\mathbb {P}$ jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej $\lambda$ i każdego stacjonarnego zbioru $S\subseteq [\lambda ]^{\omega }$ mamy, że $\Vdash _{\mathbb {P} }$ „$S$ jest stacjonarny”.

Definicja teoriogrowa

• Dla $p\in \mathbb {P}$ rozważmy następującą grę nieskończoną $\Game ^{\mathrm {proper} }(p,\mathbb {P} )$ długości $\omega .$ W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg $\langle {\dot {\alpha }}_{n},\beta _{n}:n<\omega \rangle$ w sposób następujący. Na kroku $n,$

najpierw Pierwszy wybiera $\mathbb {P}$-nazwę (term boole’owski) ${\dot {\alpha }}_{n}$ taką że $\Vdash _{\mathbb {P} }$ „${\dot {\alpha }}_{n}$ jest liczbą porządkową”.

Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową $\beta _{n}.$

Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek $q\leqslant p$ taki, że $q\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall n<\omega )(\exists k<\omega )({\dot {\alpha }}_{n}=\beta _{k}).$

• Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper jeśli dla każdego warunku $p\in \mathbb {P} ,$ Druga ma strategię zwycięską w grze $\Game ^{\mathrm {proper} }(p,\mathbb {P} ).$

Definicja oparta na warunkach generycznych

• Powiemy, że zbiór $G\subseteq \mathbb {P}$ jest filtrem w $\mathbb {P}$ jeśli następujące warunki są spełnione:

(i) $G\neq \emptyset ,$

(ii) jeśli $p,q\in \mathbb {P} ,$ $q\leqslant p$ oraz $q\in G,$ to również $p\in G,$

(iii) jeśli $p,q\in G,$ to można znaleźć $r\in G$ taki że $r\leqslant p$ oraz $r\leqslant q.$

• Zbiór $I\subseteq \mathbb {P}$ jest gęstym podzbiorem $\mathbb {P}$ jeśli $(\forall p\in \mathbb {P} )(\exists q\in I)(q\leqslant p).$
• Niech $\chi$ będzie regularną liczbą kardynalną a ${\mathcal {H}}(\chi )$ będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż $\chi .$ Przypuśćmy, że $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in )$ takim, że $\mathbb {P} \in N.$ Powiemy, że warunek $q\in \mathbb {P}$ jest warunkiem $(N,\mathbb {P} )$-generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb {P}$ który należy do modelu $N$ mamy

dla każdego $r\in A,$ jeśli $r,q$ są niesprzeczne, to $r\in N.$

(Przypomnijmy, że warunki $r,q$ są niesprzeczne jeśli istnieje warunek $s\in \mathbb {P}$ silniejszy niż oba te warunki).

• Pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej $\chi$ istnieje $x\in {\mathcal {H}}(\chi )$ taki, że:

jeśli $N$ jest przeliczalnym elementarnym podmodelem $({\mathcal {H}}(\chi ),\in ),$ $\mathbb {P} ,x\in N$ oraz $p\in \mathbb {P} \cap N,$

to istnieje warunek $q\leqslant p$ który jest $(N,\mathbb {P} )$-generyczny.

Przykłady

• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
• Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

Przykładowe własności

• Przypuśćmy, że pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ jest proper. Wówczas

(a) Jeśli $p\in \mathbb {P}$ oraz ${\dot {\tau }}$ jest $\mathbb {P}$-nazwą taką, że $p\Vdash _{\mathbb {P} }{\dot {\tau }}:\omega \longrightarrow \mathbf {V} ,$ to istnieją warunek $q\leqslant p$ oraz ciąg $\langle A_{n}:n<\omega \rangle$ zbiorów przeliczalnych takie, że $q\Vdash _{\mathbb {P} }(\forall n<\omega )({\dot {\tau }}(n)\in A_{n}).$

(b) $\Vdash _{\mathbb {P} }$ „$\omega _{1}^{\mathbf {V} }$ jest liczbą kardynalną”.

• Przypuśćmy, że ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

$\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$ „${\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }$ jest proper”.

Wówczas $\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})$ jest proper.

• Załóżmy CH. Przypuśćmy, że ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\omega _{2}\rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <\omega _{2}$ mamy

$\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$ „${\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }$ jest proper mocy co najwyżej $\aleph _{1}$”.

Wówczas $\mathbb {P} _{\omega _{2}}$ spełnia $\aleph _{2}$-cc (tzn. każdy antyłańcuch w $\mathbb {P} _{\omega _{2}}$ jest mocy co najwyżej $\aleph _{1}$) oraz $\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$ „$2^{\aleph _{0}}=\aleph _{1}$” dla każdego $\alpha <\omega _{2}.$

Twierdzenia zachowawcze

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowawczych związanych z tą własnością.

Postać ogólna

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy $W_{1}$ i $W_{2}$ i własność $W_{1}$ implikuje własność $W_{2}.$ Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

$\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$” ${\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }$ jest proper i ma własność $W_{1}$”,

to $\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})$ jest proper i ma własność $W_{2}.$

(b) Jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną oraz ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

$\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$ „${\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }$ jest proper” oraz $\mathbb {P} _{\alpha }$ ma własność $W_{1},$

to $\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})$ (jest proper i) ma własność $W_{2}.$

Jeśli własności $W_{1},W_{2}$ są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

Przykłady

• Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb {Q} =(\mathbb {Q} ,\leqslant )$ jest $^{\omega }\omega$-ograniczające, jeśli

$\Vdash _{\mathbb {Q} }{\big (}\forall \eta \in {}^{\omega }\omega {\big )}{\big (}\exists \nu \in {}^{\omega }\omega \cap \mathbf {V} {\big )}{\big (}\forall n\in \omega {\big )}{\big (}\eta (n)<\nu (n){\big )}.$

Twierdzenie: Jeśli ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle$ jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

$\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$ „${\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }$ jest proper i $^{\omega }\omega$-ograniczające”,

to $\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})$ jest proper i jest $^{\omega }\omega$-ograniczające.

• Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb {Q} =(\mathbb {Q} ,\leqslant )$ jest słabo $^{\omega }\omega$-ograniczające, jeśli

$\Vdash _{\mathbb {Q} }{\big (}\forall \eta \in {}^{\omega }\omega {\big )}{\big (}\exists \nu \in {}^{\omega }\omega \cap \mathbf {V} {\big )}{\big (}\{n\in \omega :\eta (n)<\nu (n)\}$ jest nieskończony ${\big )}.$

Twierdzenie: Jeśli $\gamma$ jest liczbą graniczną oraz ${\overline {\mathbb {Q} }}=\langle \mathbb {P} _{\alpha },{\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }:\alpha <\gamma \rangle$ jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego $\alpha <\gamma$ mamy

$\Vdash _{\mathbb {P} _{\alpha }}$” ${\dot {\mathbb {Q} }}_{\alpha }$ jest proper „oraz $\mathbb {P} _{\alpha }$ jest słabo $^{\omega }\omega$-ograniczające,

to $\mathbb {P} _{\gamma }=\lim({\overline {\mathbb {Q} }})$ jest proper i jest słabo $^{\omega }\omega$-ograniczające.

Dalsza lektura

Rozdziały 6 i 18 w monografii Szelacha są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna.

Aksjomat A

James E. Baumgartner wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

Aksjomat Baumgartnera

Powiemy, że pojęcie forsingu $\mathbb {P} =(\mathbb {P} ,\leqslant )$ spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych $(\leqslant _{n})_{n<\omega }$ na $\mathbb {P}$ taki, że

(i) jeśli $q\leqslant _{0}p,$ to $q\leqslant p,$

(ii) jeśli $q\leqslant _{n+1}p,$ to $q\leqslant _{n}p,$

(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków $\langle p_{n}\colon n<\omega \rangle$ ma tę własność, że $p_{n+1}\leqslant _{n}p_{n}$ (dla wszystkich $n<\omega$), to można znaleźć warunek $q\in \mathbb {P}$ taki, że $(\forall n<\omega )(q\leqslant _{n}p_{n}),$

(iv) dla każdego warunku $p\in \mathbb {P} ,$ liczby $n<\omega$ oraz maksymalnego antyłańcucha $A\subseteq \mathbb {P}$ można wybrać warunek $q\in \mathbb {P}$ taki, że $q\leqslant _{n}p$ i zbiór $\{r\in A\colon r,q$ są niesprzeczne $\}$ jest przeliczalny.

Konsekwencje i przykłady

• Jeśli pojęcie forsingu $\mathbb {P}$ spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
• Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy $\leqslant _{n}=\leqslant ,$ a w drugim $\leqslant _{n}$ jest równością.)
• Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera $\mathbb {S}$ jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje $f\colon \operatorname {dom} (f)\to \omega$ takie, że $\operatorname {dom} (f)\subseteq \omega$ oraz $\omega \setminus \operatorname {dom} (f)$ jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn. $g\leqslant f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ($f,g\in \mathbb {S}$ oraz) $f\subseteq g.$

Dla liczby naturalnej $n\in \omega$ określmy relację dwuczłonową $\leqslant _{n}$ na $\mathbb {S}$ w sposób następujący. Kładziemy $\leqslant _{0}=\leqslant$ oraz dla $n>0{:}$

$g\leqslant _{n}f$ wtedy i tylko wtedy, gdy ($f,g\in \mathbb {S}$ oraz) $g\leqslant f$ i jeśli $k\in \omega \setminus \operatorname {dom} (f)$ i $\left|k\setminus \operatorname {dom} (f)\right|<n$ to $k\notin \operatorname {dom} (g).$

Łatwo można sprawdzić, że $\leqslant _{n}$ są porządkami częściowymi na $\mathbb {S}$ zaświadczającymi, że $\mathbb {S}$ spełnia aksjomat A.

• Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach.

Zobacz też

• forsing
• PFA
• pojęcie forsingu
• teoria mnogości