Proper forsing

Proper forsing (własność proper pojęć forsingu) – jedna z podstawowych własności pojęć forsingu wprowadzona przez izraelskiego matematyka Saharona Szelacha w drugiej połowie lat 70. XX wieku. Nazwa jest spolszczeniem angielskiego wyrażenia proper forcing.

W 1978 w czasie wykładów w Berkeley, Szelach przedstawił po raz pierwszy tę własność i jej zastosowania, w druku te idee ukazały się w 1980[1]. W 1982, Szelach opublikował monografię[2] przedstawiającą pierwsze systematyczne badania forsingów proper, związanych z nimi aksjomatów forsingowych i twierdzeń zachowawczych[3][4][5].

DefinicjeEdytuj

W literaturze tematu funkcjonują trzy równoważne definicje pojęcia forsingów proper. Definicja teoriogrowa była opublikowana po raz pierwszy w rozprawie doktorskiej Charlsa Greya, pozostałe dwie są oryginalnymi definicjami Szelacha.

Niech   będzie pojęciem forsingu.

Definicja kombinatorycznaEdytuj

  • Uogólniając pojęcie zbiorów stacjonarnych wprowadzamy następujące definicje. Poniżej, dla liczby kardynalnej   rodzina wszystkich nieskończonych przeliczalnych podzbiorów   jest oznaczana przez  
(i) Zbiór   jest nieograniczony jeśli dla każdego   możemy znaleźć   taki że  
(ii) Zbiór   jest domknięty jeśli dla każdego ciągu   (dla  ) elementów zbioru   spełniony jest warunek
 
(iii) Zbiór   jest stacjonarny jeśli ma on niepusty przekrój z każdym domkniętym i nieograniczonym zbiorem   (tzn.  ).
  • Pojęcie forsingu   jest proper jeśli zachowuje ono stacjonarność podzbiorów   dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej   Innymi słowy,   jest proper jeśli dla każdej nieprzeliczalnej liczby kardynalnej   i każdego stacjonarnego zbioru   mamy, że    jest stacjonarny”.

Definicja teoriogrowaEdytuj

  • Dla   rozważmy następującą grę nieskończoną   długości   W czasie partii tej gry, dwóch graczy (Pierwszy i Druga) konstruuje ciąg   w sposób następujący. Na kroku  
najpierw Pierwszy wybiera  -nazwę (term boole’owski)   taką że    jest liczbą porządkową”.
Potem Druga odpowiada wybierając liczbę porządkową  
Po skończonej partii orzekamy że Druga wygrała wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje warunek   taki, że  
  • Pojęcie forsingu   jest proper jeśli dla każdego warunku   Druga ma strategię zwycięską w grze  

Definicja oparta na warunkach generycznychEdytuj

  • Powiemy, że zbiór   jest filtrem w   jeśli następujące warunki są spełnione:
(i)  
(ii) jeśli     oraz   to również  
(iii) jeśli   to można znaleźć   taki że   oraz  
  • Zbiór   jest gęstym podzbiorem   jeśli  
  • Niech   będzie regularną liczbą kardynalną a   będzie rodziną wszystkich zbiorów dziedzicznie mocy mniejszej niż   Przypuśćmy, że   jest przeliczalnym elementarnym podmodelem   takim, że   Powiemy, że warunek   jest warunkiem  -generycznym jeśli dla każdego maksymalnego antyłańcucha   który należy do modelu   mamy
dla każdego   jeśli   są niesprzeczne, to  
(Przypomnijmy, że warunki   są niesprzeczne jeśli istnieje warunek   silniejszy niż oba te warunki).
  • Pojęcie forsingu   jest proper, jeśli dla każdej dostatecznie dużej regularnej liczby kardynalnej   istnieje   taki, że:
jeśli   jest przeliczalnym elementarnym podmodelem     oraz  
to istnieje warunek   który jest  -generyczny.

PrzykładyEdytuj

  • Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu są proper.
  • Pojęcia forsingu Lavera, Mathiasa i Sacksa (zdefiniowane w artykule o pojęciach forsingu) są proper.

Przykładowe własnościEdytuj

  • Przypuśćmy, że pojęcie forsingu   jest proper. Wówczas
(a) Jeśli   oraz   jest  -nazwą taką, że   to istnieją warunek   oraz ciąg   zbiorów przeliczalnych takie, że  
(b)    jest liczbą kardynalną”.
  • Przypuśćmy, że   jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi (CS iteration) taką, że dla każdego   mamy
   jest proper”.
Wówczas   jest proper.
  • Załóżmy CH. Przypuśćmy, że   jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego   mamy
   jest proper mocy co najwyżej  ”.
Wówczas   spełnia  -cc (tzn. każdy antyłańcuch w   jest mocy co najwyżej  ) oraz   ” dla każdego  

Twierdzenia zachowawczeEdytuj

Pozycja własności proper w teorii forsingów iterowanych jest wynikiem szeregu twierdzeń zachowawczych związanych z tą własnością.

Postać ogólnaEdytuj

Ogólny schemat twierdzeń iteracyjnych ma następującą postać. Mamy dwie własności pojęć forsingu, powiedzmy   i   i własność   implikuje własność   Twierdzenia iteracyjne związane z tymi własnościami mogą być jednej z następujących postaci:

(a) Jeśli   jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego   mamy
   jest proper i ma własność  ”,
to   jest proper i ma własność  
(b) Jeśli   jest liczbą graniczną oraz   jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego   mamy
   jest proper” oraz   ma własność  
to   (jest proper i) ma własność  

Jeśli własności   są identyczne, to mówimy wówczas że mamy do czynienia z twierdzeniem zachowawczym.

PrzykładyEdytuj

  • Powiemy, że pojęcie forsingu   jest  -ograniczające, jeśli
 
Twierdzenie: Jeśli   jest iteracją z nośnikami przeliczalnymi taką, że dla każdego   mamy
   jest proper i  -ograniczające”,
to   jest proper i jest  -ograniczające.
  • Powiemy, że pojęcie forsingu   jest słabo  -ograniczające, jeśli
  jest nieskończony  
Twierdzenie: Jeśli   jest liczbą graniczną oraz   jest taką iteracją z nośnikami przeliczalnymi, że dla każdego   mamy
   jest proper „oraz   jest słabo  -ograniczające,
to   jest proper i jest słabo  -ograniczające.

Dalsza lekturaEdytuj

Rozdziały 6 i 18 w monografii Szelacha[3] są najbardziej wyczerpującym przeglądem twierdzeń zachowawczych, ale bardzo jasno przedstawione szczególne przypadki tych twierdzeń można znaleźć w artykule Goldsterna[4] i książce Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6]. Warto przy tej okazji zauważyć, że w artykule Goldsterna zakłada się (ze względów technicznych), że rozważane pojęcia forsingu dodają nowe liczby rzeczywiste, a prezentacja w książce Bartoszyńskiego i Judaha zawiera pewną lukę w tym aspekcie. Wyjaśnienie problemu i przedstawienie jego rozwiązania można znaleźć w artykule Jakoba Kellnera i Martina Goldsterna[7].

Aksjomat AEdytuj

James E. Baumgartner[8] wprowadził własność pojęć forsingu, która implikuje, że rozważany forsing jest proper, a której sprawdzenie w wielu przypadkach jest prostsze (czy też bardziej intuicyjne). Własność ta znana jest pod nazwą aksjomatu A lub aksjomatu Baumgartnera.

Aksjomat BaumgartneraEdytuj

Powiemy, że pojęcie forsingu   spełnia aksjomat A, jeśli istnieje ciąg porządków częściowych   na   taki, że

(i) jeśli   to  
(ii) jeśli   to  
(iii) jeśli nieskończony ciąg warunków   ma tę własność, że   (dla wszystkich  ), to można znaleźć warunek   taki, że  
(iv) dla każdego warunku   liczby   oraz maksymalnego antyłańcucha   można wybrać warunek   taki, że   i zbiór   są niesprzeczne   jest przeliczalny.

Konsekwencje i przykładyEdytuj

  • Jeśli pojęcie forsingu   spełnia aksjomat A, to jest ono proper.
  • Wszystkie przeliczalnie domknięte pojęcia forsingu, jak też i wszystkie ccc pojęcia forsingu spełniają aksjomat A. (W pierwszym przypadku kładziemy   a w drugim   jest równością.)
  • Forsing Silvera spełnia aksjomat A. Przypomnijmy, że pojęcie forsingu Silvera   jest zdefiniowane następująco. Elementami porządku (tzn. warunkami) są funkcje   takie, że   oraz   jest nieskończone; porządek jest odwrotną relacją wydłużania funkcji, tzn.   wtedy i tylko wtedy, gdy (  oraz)  
Dla liczby naturalnej   określmy relację dwuczłonową   na   w sposób następujący. Kładziemy   oraz dla  
  wtedy i tylko wtedy, gdy (  oraz)   i jeśli   i   to  
Łatwo można sprawdzić, że   są porządkami częściowymi na   zaświadczającymi, że   spełnia aksjomat A.
  • Ogólniej, pojęcia forsingu zbudowane zgodnie z metodą norm na możliwościach spełniają aksjomat A przy naturalnych warunkach[9].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Szelach, Saharon: Independence results. „J. Symbolic Logic” 45 (1980), s. 563–573.
  2. Szelach, Saharon: Proper forcing. „Lecture Notes in Mathematics”, 940. Springer-Verlag, Berlin-New York, 1982. ​ISBN 3-540-11593-5​.
  3. a b Szelach, Saharon: Proper and improper forcing. „Perspectives in Mathematical Logic”. Springer-Verlag, Berlin, 1998. ​ISBN 3-540-51700-6​.
  4. a b Goldstern, Martin: Tools for your forcing construction. Set theory of the reals (Ramat Gan, 1991). „Israel Math. Conf. Proc.”, 6, Bar-Ilan Univ., Ramat Gan, 1993, s. 305–360.
  5. Abraham, Uri: Proper forcing, w: Handbook of Set Theory pod red. M. Foremana, A. Kanamoriego i M. Magidora, w druku. Dostępne w formacie dvi na stronie autora.
  6. Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim. Set theory. On the structure of the real line, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ​ISBN 1-56881-044-X​.
  7. Goldstern, Martin; Kellner, Jakob: New reals: can live with them, can live without them. „Math. Log. Q.” 52 (2006), s. 115–124.
  8. Baumgartner, James E.: Iterated forcing, w: Surveys in set theory, pod red. A.R. D. Mathiasa. London Math. Soc. Lecture Notes Ser., 87, Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1983, s. 1–59.
  9. Rosłanowski, Andrzej; Szelach, Saharon: Norms on possibilities. I. Forcing with trees and creatures. „Mem. Amer. Math. Soc.” 141 (1999), no. 671, ​ISBN 0-8218-1180-0​.