Otwórz menu główne

Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych.

Spis treści

Rys historycznyEdytuj

  • Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
  • W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus[1] zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego[2][3][4].
  • W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz   jest zbiorem analitycznym, to gra   jest zdeterminowana[5].
  • W 1975 Martin wykazał, że jeśli   jest zbiorem borelowskim, to gra   jest zdeterminowana[6][7].
  • W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[8][9]. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
  • W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu   które okazało się kluczowym elementem badań struktury   przy założeniu AD w   (gdzie   jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów   a   jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy  )[10].

Aksjomat i jego wersjeEdytuj

Definicje wstępneEdytuj

Przypomnijmy następujące definicje:

  • Niech   będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech   Gra   pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony   o wyrazach w   w taki sposób, że po tym jak już   zostało wybrane, to
jeśli   jest parzyste, to gracz I wybiera   a
jeśli   jest nieparzyste, to gracz II wybiera  
Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg   powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli  
  • Strategia dla gracza I to funkcja   Powiemy, że ciąg   jest zgodny ze strategią σ jeśli   Strategia σ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w  , jeśli każdy ciąg η zgodny z σ należy do zbioru  .
  • Strategia dla gracza II to funkcja   Powiemy, że ciąg   jest zgodny ze strategią τ jeśli   Strategia   dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w  , jeśli żaden ciąg   zgodny z   nie należy do zbioru  .
  • Powiemy że gra   jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacjiEdytuj

  • Aksjomat determinacji AD to zdanie
dla każdego zbioru   gra   jest zdeterminowana.
  • Aksjomat determinacji rzeczywistej   to zdanie
dla każdego zbioru   gra   jest zdeterminowana

(gdzie   oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

  • Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie
dla każdego zbioru rzutowego   gra   jest zdeterminowana.

KonsekwencjeEdytuj

  •   implikuje AD.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:
    1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
    2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
    3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
    4. Dla każdego     jest liczbą nieosiągalną w  
    5.   jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
    6.   jest liczbą mierzalną.
  • Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:
    1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
    2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
    3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  • Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
    1.   oraz
    2. PD jest prawdziwe.
  • Teoria „ZF+AD” jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria „ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina”.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Mycielski, Jan; Steinhaus, H.: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, „Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys.” 10 (1962), s. 1–3.
  2. Mycielski, Jan i Świerczkowski, Stanisław: On the Lebesgue measurability and the axiom of determinateness, „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.
  3. Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness, „Fundamenta Mathematicae” 53 (1963/1964), s. 205–224.
  4. Mycielski, Jan: On the axiom of determinateness. II, „Fundamenta Mathematicae” 59 (1966), s. 203–212.
  5. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games, „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.
  6. Martin, Donald A.: Borel determinacy. „Ann. of Math.” (2) 102 (1975), nr 2, s. 363–371.
  7. Martin, Donald A.: A purely inductive proof of Borel determinacy, „Recursion theory (Ithaca, N.Y., 1982)”, Proc. Sympos. Pure Math., 42 (1985). s. 303–308.
  8. Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. „Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A.” 85 (1988), s. 6587–6591.
  9. Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy, „J. Amer. Math. Soc.” 2 (1989), s. 1, 71-125.
  10. Woodin, W. Hugh: The axiom of determinacy, forcing axioms, and the nonstationary ideal. „de Gruyter Series in Logic and its Applications”, 1. Walter de Gruyter & Co., Berlin, 1999. ​ISBN 3-11-015708-X​.