Aksjomat determinacji

Aksjomat determinacji, AD (od ang. axiom of determinacy) – aksjomat teorii mnogości postulujący zdeterminowanie pewnych gier nieskończonych. Implikuje on, że aksjomat wyboru jest fałszywy, a zatem unieważnia paradoksy wynikające z tego ostatniego. Niesprzeczność AD jest równoważna z niesprzecznością istnienia pewnych dużych liczb kardynalnych.

W literaturze matematycznej istnieje cała rodzina aksjomatów determinacji, do najpopularniejszych należy jednak AD niezależny od aksjomatów Zermela-Fraenkla.

W dalszej części tego artykułu będą używane oznaczenia i definicje wprowadzone w artykule o grach nieskończonych.

Rys historyczny

• Pierwsza gra nieskończona została opisana w 1930 przez polskiego matematyka Stanisława Mazura w problemie 43 w Księdze Szkockiej. Dzisiaj gra ta jest znana pod nazwą gry Banacha-Mazura.
• W 1962 polscy matematycy Jan Mycielski i Hugo Steinhaus zaproponowali badania aksjomatów determinacji. Aksjomaty te były intensywnie studiowane na początku lat 60. XX wieku przez Jana Mycielskiego i Stanisława Świerczkowskiego.
• W 1969 Donald A. Martin udowodnił, że jeśli istnieje liczba mierzalna oraz $A\subseteq \omega ^{\omega }$ jest zbiorem analitycznym, to gra $\Game ^{\omega }(A)$ jest zdeterminowana.
• W 1975 Martin wykazał, że jeśli $A\subseteq \omega ^{\omega }$ jest zbiorem borelowskim, to gra $\Game ^{\omega }(A)$ jest zdeterminowana.
• W końcu lat 80. XX wieku Hugh Woodin, Donald Martin i John Steel wykazali, że przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych, wszystkie gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane. Ponadto udowodnili oni, że jeśli istnieją odpowiednio duże liczby kardynalne, to ZF+AD jest niesprzeczne.
• W latach 90. XX wieku Woodin rozwinął teorię wokół pojęcia forsingu $\mathbf {P} _{\max },$ które okazało się kluczowym elementem badań struktury $({\mathcal {H}}(\omega _{2}),\in ,I_{NS})$ przy założeniu AD w $\mathbf {L} (\mathbb {R} )$ (gdzie $I_{NS}$ jest ideałem niestacjonarnych podzbiorów $\omega _{1},$ a ${\mathcal {H}}(\omega _{2})$ jest rodziną zbiorów dziedzicznie mocy $<\omega _{2}$).

Aksjomat i jego wersje

Definicje wstępne

Przypomnijmy następujące definicje:

• Niech ${\mathcal {X}}$ będzie zbiorem o przynajmniej dwóch elementach oraz niech $A\subseteq {\mathcal {X}}^{\omega }.$ Gra $\Game ^{\mathcal {X}}(A)$ pomiędzy graczami I i II jest zdefiniowana jako proces, w wyniku którego gracze konstruują ciąg nieskończony $\eta =\langle \eta (n):n\in \omega \rangle \in {\mathcal {X}}^{\omega }$ o wyrazach w ${\mathcal {X}}$ w taki sposób, że po tym jak już $\eta \upharpoonright n=\langle \eta (k):k<n\rangle$ zostało wybrane, to

jeśli $n$ jest parzyste, to gracz I wybiera $\eta (n),$

jeśli $n$ jest nieparzyste, to gracz II wybiera $\eta (n).$

Po wykonaniu wszystkich ω kroków, kiedy gracze zbudowali ciąg $\eta =\langle \eta (n):n\in \omega \rangle \in {\mathcal {X}}^{\omega },$ powiemy, że gracz I wygrał partię η jeśli $\eta \in A.$

• Strategia dla gracza I to funkcja $\sigma :\bigcup \limits _{k\in \omega }{\mathcal {X}}^{2k}\longrightarrow {\mathcal {X}}.$ Powiemy, że ciąg $\eta \in {\mathcal {X}}^{\omega }$ jest zgodny ze strategią σ jeśli $(\forall k\in \omega )(\eta (2k)=\sigma (\eta \upharpoonright 2k)).$ Strategia $\sigma$ dla gracza I jest strategią zwycięską gracza I w $\Game ^{\mathcal {X}}(A)$, jeśli każdy ciąg $\eta$ zgodny z $\sigma$ należy do zbioru $A.$
• Strategia dla gracza II to funkcja $\tau :\bigcup \limits _{k\in \omega }{\mathcal {X}}^{2k+1}\longrightarrow {\mathcal {X}}.$ Powiemy, że ciąg $\eta \in {\mathcal {X}}^{\omega }$ jest zgodny ze strategią τ jeśli $(\forall k\in \omega )(\eta (2k+1)=\tau (\eta \upharpoonright (2k+1))).$ Strategia $\tau$ dla gracza II jest strategią zwycięską gracza II w $\Game ^{\mathcal {X}}(A)$, jeśli żaden ciąg $\eta$ zgodny z $\tau$ nie należy do zbioru $A.$
• Powiemy, że gra $\Game ^{\mathcal {X}}(A)$ jest zdeterminowana, jeśli jeden z graczy ma strategię zwycięską.

Aksjomaty determinacji

• Aksjomat determinacji AD to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq \omega ^{\omega }$ gra $\Game ^{\omega }(A)$ jest zdeterminowana.

• Aksjomat determinacji rzeczywistej $\mathbf {AD} _{\mathbb {R} }$ to zdanie

dla każdego zbioru $A\subseteq \mathbb {R} ^{\omega }$ gra $\Game ^{\mathbb {R} }(A)$ jest zdeterminowana

(gdzie $\mathbb {R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych).

• Aksjomat determinacji rzutowej PD to zdanie

dla każdego zbioru rzutowego $A\subseteq \omega ^{\omega }$ gra $\Game ^{\omega }(A)$ jest zdeterminowana.

Konsekwencje

• $\mathbf {AD} _{\mathbb {R} }$ implikuje AD.
• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami AD:
  1. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
  2. Każdy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
  3. Każdy nieprzeliczalny podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
  4. Dla każdego $x\subseteq \omega ,$ $\aleph _{1}$ jest liczbą nieosiągalną w $\mathbf {L} [x].$
  5. $\aleph _{1}$ jest liczbą mierzalną (a nawet filtr generowany przez cluby jest ultrafiltrem).
  6. $\aleph _{2}$ jest liczbą mierzalną.
• Następujące stwierdzenia są konsekwencjami PD:
  1. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych ma własność Baire’a.
  2. Każdy rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych jest mierzalny w sensie miary Lebesgue’a.
  3. Każdy nieprzeliczalny rzutowy podzbiór liczb rzeczywistych zawiera podzbiór doskonały.
• Jeśli istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina z liczbą mierzalną powyżej ich, to
  1. $\mathbf {L} (\mathbb {R} )\models \mathbf {AD}$
  2. PD jest prawdziwe.
• Teoria „ZF+AD” jest niesprzeczna wtedy i tylko wtedy, gdy niesprzeczna jest teoria „ZFC+ istnieje nieskończenie wiele liczb Woodina”.

Zobacz też

• opisowa teoria mnogości