Otwórz menu główne

Zbiory analityczne – podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michała Suslina[1].

Zbiory analityczne w przestrzeniach polskichEdytuj

Niech   oznacza przestrzeń Baire’a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej   definiujemy klasy   i   następująco:

  •   jest rodziną tych wszystkich podzbiorów   przestrzeni   że dla pewnego zbioru borelowskiego   mamy  
  •   jest rodziną tych podzbiorów   przestrzeni   że  

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy   (zamiast  ).

Zbiory należące do klasy   nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni  , a zbiory z klasy   są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni  . Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

PrzykładyEdytuj

  • Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.
  • Dla ciągu  niech   Tak więc, dla każdego   zbiór   jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych   Rozważmy zbiór
  jest dobrym porządkiem na  
Wówczas   jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie   jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski).

WłasnościEdytuj

  • Jeśli   jest przestrzenią polską,   jest funkcją ciągłą oraz   to   W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.
  • Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).
  • Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.
  • Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
  • Jeśli  rozłącznymi podzbiorami analitycznymi przestrzeni polskiej   to można znaleźć taki zbiór borelowski   że   oraz   W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.
  • Wszystkie zbiory z   mają własność Baire’a.
  • Wszystkie zbiory z   są mierzalne w sensie miary Lebesgue’a.
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z   są zdeterminowane[2].
  • Przypuśćmy, że   są przestrzeniami polskimi i   jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny   który jest wykresem funkcji o dziedzinie  
Powyższe twierdzenie przy założeniu że   jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[3], a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo[4].

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Souslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis, „Comptes Rendus Acad. Sci. Paris”, 164 (1917), s. 88–91.
  2. Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. „Fundamenta Mathematicae” 66 (1969/1970), s. 287–291.
  3. Sierpinski, Wacław: Sur l’uniformisation des ensembles mesurables (B). „Fundamenta Math.” 16 (1930), s. 136–139.
  4. Kondô, Motokiti: Sur l’uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. „Japan. J. Math.” 15 (1938), s. 197–230.