Zbiór Bernsteina

Zbiór Bernsteina – podzbiór przestrzeni polskiej, który jest w pewnym sensie bardzo nieregularny. Zbiór Bernsteina, jako podzbiór zbioru liczb rzeczywistych jest przykładem zbioru niemierzalnego (w sensie Lebesgue’a). Nazwa pojęcia została wprowadzona dla uhonorowania niemieckiego matematyka Felixa Bernsteina, który pierwszy rozważał zbiory tego typu w 1908[1].

Definicja formalnaEdytuj

Niech   będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską. Podzbiór   jest zbiorem Bernsteina w  , jeśli dla każdego nieprzeliczalnego zbioru borelowskiego   spełnione są warunki

  •  
  •  

WłasnościEdytuj

Niech   będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską oraz niech   Wówczas następujące warunki są równoważne:

  •   jest zbiorem Bernsteina,
  • ani   ani   nie zawiera nieprzeliczalnego domkniętego podzbioru  
  • zarówno   jak i   ma niepusty przekrój z każdym nieprzeliczalnym domkniętym podzbiorem  

Jeśli   jest zbiorem Bernsteina, to:

  •   jest zbiorem Bernsteina,
  •   nie ma własności Baire’a,
  •   jest niemierzalny względem dowolnej niezerowej miary Radona na  
  •   jest pełnej miary zewnętrznej Lebesgue’a, a wewnętrzną miarę Lebesgue’a ma zerową.

Istnieją takie dwie podgrupy   grupy   dla których

 

i które są zbiorami Bernsteina.

KonstrukcjaEdytuj

Dowód istnienia zbiorów Bernsteina wymaga użycia aksjomatu wyboru. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus i Stanisław Świerczkowski udowodnili, że pod założeniem aksjomatu determinacji nie istnieją zbiory Bernsteina[2][3].

Poniższe rozumowanie oparte jest o twierdzenie Zermela, które mówi, że każdy zbiór można dobrze uporządkować (twierdzenie Zermela jest równoważne aksjomatowi wyboru).

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską – wówczas X jest mocy continuum oraz rodzina wszystkich borelowskich podzbiorów   jest również mocy continuum. Wobec powyższego można wszystkie nieprzeliczalne podzbiory borelowskie przestrzeni X ustawić w ciąg pozaskończony

 

(Powyżej liczba kardynalna   traktowana jest jako liczba porządkowa). Następnie, przez indukcję ze względu na   można wybrać takie punkty   że:

 
 

Wybór jest możliwy, ponieważ na kroku   wiadomo, że zbiór   jest nieprzeliczalny, a więc (jako zbiór borelowski) także mocy continuum, natomiast zbiór   jest mocy mniejszej niż continuum.

Po zakończeniu powyższego procesu, skonstruowane zbiory

  i  

są rozłączne oraz każdy z nich jest zbiorem Bernsteina.

WzmocnienieEdytuj

Powyższą konstrukcję można wzmocnić: dla dowolnej nieprzeliczalnej przestrzeni polskiej istnieje jej rozbicie   na continuum wiele zbiorów Bernsteina.

Dowód. Istnieje taka funkcja

 

że

 

dla każdego zbioru doskonałego   (w literaturze funkcje takie noszą nazwę perfectly everywhere surjective functions). Istotnie, niech

 

będzie ustawieniem w ciąg pozaskończony wszystkich par   gdzie   jest zbiorem doskonałym a   punktem prostej. Funkcję   można zdefiniować rekursywnie:

  • W kroku zerowym, ze zbioru   można wybrać dowolny punkt   i zdefiniować  
  • W kroku   ze zbioru
 
wybiera się punkt   i definiuje  
  • Dla punktów   definiuje się  

Dla każdego zbioru doskonałego   i punktu   istnieje taka liczba   że   Zatem na mocy konstrukcji   Rozważmy teraz rodzinę zbiorów

 

Składa się ona ze zbiorów parami rozłącznych i takich, że mają one punkty wspólne z każdym zbiorem doskonałym. Zatem jest to rodzina składająca się z   wielu zbiorów Bernsteina.

Liczba zbiorów Bernsteina na prostejEdytuj

Istnieje   parami różnych zbiorów Bernsteina na prostej. Istotnie, niech

 

będzie rodziną parami rozłącznych zbiorów Bernsteina na prostej (liczba kardynalna   jest, w szczególności, liczbą porządkową). Niech   będzie takim niepustym zbiorem, że   jest niepusty. Niech ponadto

 

Wówczas   jest zbiorem Bernsteina. Istotnie, niech     i niech   będzie zbiorem doskonałym. Wówczas

 

Stąd

 

co dowodzi, że   jest zbiorem Bernsteina, oraz każdy zbiór   jest jednoznacznie wyznaczony przez niepusty podzbiór   o niepustym dopełnieniu. Takich zbiorów jest jednak  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Felix Bernstein, Zur Theorie der trigonometrischen Reihen, Sitzungsber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig. Math.-Natur. Kl. 60 (1908), s. 325–338.
  2. Jan Mycielski, Hugo Steinhaus: A mathematical axiom contradicting the axiom of choice, Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astronom. Phys., 10 (1962) 1–3.
  3. Jan Mycielski, Stanisław Świerczkowski: On the Lebesgue measurability and the axiom of Determinateness. „Fundamenta Mathematicae”. 54 (1964), s. 67–71.

BibliografiaEdytuj

  • A.B. Kharazishvili, Nonmeasurable sets and functions. North-Holland Mathematics. Studies, 195. Elsevier Science B.V., Amsterdam 2004, s. 17–26