Zbiór nigdziegęsty

Zbiór $A$ przestrzeni $(X,\tau )$ nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

$\operatorname {int} \;\operatorname {cl} \;A=\emptyset .$

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni $X.$

Definicja formalna

Zbiór $A\subseteq X$ jest nigdziegęsty w $X$ wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym $U$ można znaleźć niepusty podzbiór otwarty $V,$ rozłączny z $A$ (tj. $V\subseteq U\setminus A$).

Własności

• Rodzina $\mathrm {NWD} (X)$ wszystkich nigdziegęstych podzbiorów $X$ tworzy właściwy ideał podzbiorów $X,$ tzn.

jeśli $A,B\in \mathrm {NWD} (X),$ to $A\cup B\in \mathrm {NWD} (X),$ oraz

jeśli $A\in \mathrm {NWD} (X)$ i $B\subseteq A,$ to $B\in \mathrm {NWD} (X),$ oraz

$X\notin \mathrm {NWD} (X).$

• Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
• Jeśli $A\subseteq Y\subseteq X$ i $A$ jest nigdziegęsty w $Y$ (tzn. $A\in \mathrm {NWD} (Y)$ gdy $Y$ jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to $A\in \mathrm {NWD} (X).$
• Załóżmy, że $A\subseteq Y\subseteq X$ oraz albo $Y$ jest gęstym podzbiorem $X$ lub $Y$ jest otwarty w $X.$ Wówczas $A\in \mathrm {NWD} (X)$ wtedy i tylko wtedy, gdy $A\in \mathrm {NWD} (Y).$

Przykłady

• Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
• Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w $\mathbb {R}$).
• Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory $\mathbb {R}$ które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, np. zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku $n$ odcinków długości $5^{-n}.$

Uogólnienia

s₀-zbiory

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie $(s_{0})$-zbiorów.

Powiemy, że podzbiór $A$ prostej rzeczywistej $\mathbb {R}$ jest $(s_{0})$-zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru $P\subseteq \mathbb {R}$ można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z $A.$

Zbiory $(s_{0})$ tworzą $\sigma$-ideał podzbiorów $\mathbb {R} .$

Zbiory A-nigdziegęste

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów $(s_{0})$ i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech ${\mathcal {A}}$ będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni $X.$ Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest ${\mathcal {A}}$-nigdziegęsty jeśli każdy element $U\in {\mathcal {A}}$ zawiera podzbiór $V\in {\mathcal {A}}$ rozłączny z $A.$

Jeśli ${\mathcal {A}}$ jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów $X,$ to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory $X.$ Jeżeli ${\mathcal {A}}$ jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś $X=\mathbb {R} ,$ to otrzymujemy z kolei $(s_{0})$-zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin ${\mathcal {A}}$ używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz też

• ideał w teorii mnogości
• zbiory Marczewskiego
• zbiór pierwszej kategorii