Zbiór nigdziegęsty

Zbiór przestrzeni nazywa się zbiorem nigdziegęstym wtedy i tylko wtedy, gdy wnętrze domknięcia tego zbioru jest puste:

Inaczej mówiąc zbiór ten nie jest gęsty w żadnym otwartym podzbiorze przestrzeni

Definicja formalnaEdytuj

Zbiór   jest nigdziegęsty w   wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym niepustym zbiorze otwartym   można znaleźć niepusty podzbiór otwarty   rozłączny z   (tj.  ).

WłasnościEdytuj

  • Rodzina   wszystkich nigdziegęstych podzbiorów   tworzy właściwy ideał podzbiorów   tzn.
jeśli   to   oraz
jeśli   i   to   oraz
 
  • Przeliczalna suma zbiorów nigdziegęstych nie musi być nigdziegęsta: liczby wymierne są przeliczalną sumą jednoelementowych nigdziegęstych podzbiorów prostej rzeczywistej, a tworzą one gęsty podzbiór prostej.
  • Jeśli   i   jest nigdziegęsty w   (tzn.   gdy   jest wyposażone w topologię podprzestrzeni), to  
  • Załóżmy, że   oraz albo   jest gęstym podzbiorem   lub   jest otwarty w   Wówczas   wtedy i tylko wtedy, gdy  

PrzykładyEdytuj

  • Każdy skończony podzbiór prostej jest nigdziegęsty.
  • Klasyczny zbiór Cantora jest nigdziegęstym podzbiorem prostej rzeczywistej. Każdy podzbiór prostej który jest homeomorficzny ze zbiorem Cantora jest nigdziegęsty (w  ).
  • Istnieją nigdziegęste domknięte podzbiory   które mają dodatnią miarę Lebesgue’a, np. zbiór Cantora otrzymany przez wyrzucanie na kroku   odcinków długości  

UogólnieniaEdytuj

 -zbioryEdytuj

Motywowany przez charakteryzację podaną w lemacie, polski matematyk Edward Marczewski wprowadził w 1935 pojęcie  -zbiorów.

Powiemy, że podzbiór   prostej rzeczywistej   jest  -zbiorem Marczewskiego, jeśli dla każdego doskonałego zbioru   można znaleźć jego doskonały podzbiór rozłączny z  

Zbiory   tworzą  -ideał podzbiorów  

Zbiory  -nigdziegęsteEdytuj

W drugiej połowie XX w. wprowadzono wspólne uogólnienie pojęcia zbiorów   i zbiorów nigdziegęstych. Schemat tego uogólnienia może być przedstawiony w sposób następujący.

Niech   będzie pewną rodziną niepustych podzbiorów przestrzeni   Powiemy, że zbiór   jest  -nigdziegęsty jeśli każdy element   zawiera podzbiór   rozłączny z  

Jeśli   jest rodziną niepustych otwartych podzbiorów   to powyższa definicja określa nigdziegęste podzbiory   Jeżeli   jest rodziną zbiorów doskonałych, zaś   to otrzymujemy z kolei  -zbiory Marczewskiego.

W literaturze matematycznej można spotkać też inne przykłady rodzin   używanych w tym kontekście, niektóre z tych rodzin są związane z forsingami drzewiastymi.

Zobacz teżEdytuj