Zbiory Marczewskiego

typ podzbioru prostej rzeczywistej

Zbiory Marczewskiego, znane także jako zbiory (s)-Marczewskiego lub krótko (s)-zbiory – podzbiory A prostej mające tę własność, że dla dowolnego zbioru doskonałego istnieje taki zbiór doskonały że albo albo Pojęcie pochodzi od Edward Marczewski (Szpilrajna), z jego pracy z roku 1935[1]. Marczewski pokazał, że rodzina (s) wszystkich (s)-zbiorów jest σ-ciałem podzbiorów prostej. Motywacją do wprowadzenia tej rodziny była praca Sierpińskiego[2], w której rozważane były funkcje

o tej własności, że dla dowolnego zbioru doskonałego istnieje taki zbiór doskonały że obcięcie jest funkcją ciągłą. Marczewski pokazał w cytowanej pracy, że takie funkcje pokrywają się z rodziną funkcji mierzalnych względem σ-ciała (s).

Ze zbiorami (s)-Marczewskiego związane są tzw. zbiory (s0)-Marczewskiego. Rodzinę tę definiuje się jako

gdzie to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej. Rodzina (s0) jest σ-ideał podzbiorów prostej i składa się z ze zbiorów należących do dziedzicznie w zawartych, tj.

UogólnieniaEdytuj

Niech X będzie niepustym zbiorem i niech   Definiuje się rodziny   oraz   w sposób następujący:

 

oraz

 

Jeśli   to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej, to   oraz   czyli uzyskane rodziny pokrywają się z klasycznymi zbiorami Marczewskiego. Burstin w 1914 roku pokazał, że jeśli   to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych o mierze dodatniej na prostej, to   i   to odpowiednio  -ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a i  -ideał zbiorów miary zero na prostej[3]. Jeśli   będzie rodziną zbiorów otwartych, to dowodzi się, że   składa się ze zbiorów nigdziegęstych, natomiast   to rodzina zbiorów o nigdziegęstym brzegu, co pokazuje, że   i   nie muszą być zawsze, odpowiednio, σ-ciałem i σ-ideałem.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. E. Marczewski (Szpilrajn), Sur une classe de fonctions de M. Sierpiński et la classe correspondante densembles, Fund. Math. 24 (1935), 17-34. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm24/fm2414.pdf.
  2. W. Sierpiński, Sur un probleme de M. Ruziewicz concernant les superpositions de fonctions jouissant de la propriete de Baire, Fund. Math. 24 (1935), 12-16. http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm24/fm2413.pdf.
  3. C. Burstin, Eigenschaften messbarer und nichtmessbarer Mengen, Sitzungsber. Kaiserlichen Akad. Wiss. Math.-Natur. Kl. Abteilung IIa, 123 (1914), 1525-1551.