Zbiory Marczewskiego

Zbiory Marczewskiego, znane także jako zbiory (s)-Marczewskiego lub krótko (s)-zbiory – podzbiory A prostej $\mathbb {R}$ mające tę własność, że dla dowolnego zbioru doskonałego $P\subset \mathbb {R}$ istnieje taki zbiór doskonały $Q\subset P,$ że albo $Q\subset A\cap P$ albo $Q\subset P\setminus A.$ Pojęcie pochodzi od Edward Marczewski (Szpilrajna), z jego pracy z roku 1935. Marczewski pokazał, że rodzina (s) wszystkich (s)-zbiorów jest σ-ciałem podzbiorów prostej. Motywacją do wprowadzenia tej rodziny była praca Sierpińskiego, w której rozważane były funkcje

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

o tej własności, że dla dowolnego zbioru doskonałego $P$ istnieje taki zbiór doskonały $Q\subset P,$ że obcięcie $f\vert _{Q}$ jest funkcją ciągłą. Marczewski pokazał w cytowanej pracy, że takie funkcje pokrywają się z rodziną funkcji mierzalnych względem σ-ciała (s).

Ze zbiorami (s)-Marczewskiego związane są tzw. zbiory (s₀)-Marczewskiego. Rodzinę tę definiuje się jako

$(s_{0})=\{A\subset \mathbb {R} :\forall P\in {\mathcal {P}}\exists Q\in {\mathcal {P}}(Q\subset P\setminus A)\},$

gdzie ${\mathcal {P}}$ to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej. Rodzina (s₀) jest σ-ideał podzbiorów prostej i składa się z ze zbiorów należących do $(s)$ dziedzicznie w $(s)$ zawartych, tj.

$(s_{0})=\{A\in (s):\forall B\subset A(B\in (s))\}.$

Uogólnienia

Niech X będzie niepustym zbiorem i niech ${\mathcal {F}}\subset {\mathcal {P}}(X)\setminus \{\varnothing \}.$ Definiuje się rodziny $s({\mathcal {F}})$ oraz $s_{0}({\mathcal {F}})$ w sposób następujący:

$s({\mathcal {F}})=\{A\subset X:\forall P\in {\mathcal {F}}\exists Q\in {\mathcal {F}}(Q\subset A\cap P{\mbox{ lub }}Q\subset A\setminus P)\}$

oraz

$s_{0}({\mathcal {F}})=\{A\subset X:\forall P\in {\mathcal {F}}\exists Q\in {\mathcal {F}}(Q\subset A\setminus P)\}.$

Jeśli ${\mathcal {F}}$ to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych na prostej, to $s({\mathcal {F}})=(s)$ oraz $s_{0}({\mathcal {F}})=(s_{0}),$ czyli uzyskane rodziny pokrywają się z klasycznymi zbiorami Marczewskiego. Burstin w 1914 roku pokazał, że jeśli ${\mathcal {F}}$ to rodzina wszystkich zbiorów doskonałych o mierze dodatniej na prostej, to $s({\mathcal {F}})$ i $s_{0}({\mathcal {F}}),$ to odpowiednio $\sigma$-ciało zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a i $\sigma$-ideał zbiorów miary zero na prostej. Jeśli ${\mathcal {F}}$ będzie rodziną zbiorów otwartych, to dowodzi się, że $s_{0}({\mathcal {F}})$ składa się ze zbiorów nigdziegęstych, natomiast $s({\mathcal {F}})$ to rodzina zbiorów o nigdziegęstym brzegu, co pokazuje, że $s({\mathcal {F}})$ i $s_{0}({\mathcal {F}})$ nie muszą być zawsze, odpowiednio, σ-ciałem i σ-ideałem.

Zobacz też

• Edward Marczewski
• zbiór nigdziegęsty