Otwórz menu główne

Prawo wielkich liczb

seria twierdzeń matematycznych opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia
Nie mylić z: prawo naprawdę wielkich liczb.

Prawa wielkich liczb – seria twierdzeń matematycznych (jedno z tzw. twierdzeń granicznych) opisujących związek między liczbą wykonywanych doświadczeń a faktycznym prawdopodobieństwem wystąpienia zdarzenia, którego te doświadczenia dotyczą. Najprostsza i historycznie najwcześniejsza postać prawa wielkich liczb to prawo Bernoulliego sformułowane przez szwajcarskiego matematyka Jakoba Bernoulliego w książce Ars Conjectandi (1713). Prawo Bernoulliego orzeka, że:

„Z prawdopodobieństwem dowolnie bliskim 1 można się spodziewać, iż przy dostatecznie wielkiej liczbie prób częstość danego zdarzenia losowego będzie się dowolnie mało różniła od jego prawdopodobieństwa.”[1]

Bernoulli nazwał je „złotym twierdzeniem”, ale matematycy przyjęli dla niego nazwę „twierdzenie Bernoulliego”. Dopiero w 1835 francuski naukowiec Siméon Denis Poisson opisał je pod nazwą „prawo wielkich liczb”. Obecnie znane jest pod nazwami „twierdzenie Bernoulliego” i „prawo wielkich liczb”, jednak ta druga nazwa jest częściej stosowana.

Spis treści

Prawa wielkich liczbEdytuj

Prawo wielkich liczb BernoulliegoEdytuj

Jeśli   oznacza liczbę sukcesów w schemacie Bernoulliego   prób z prawdopodobieństwem sukcesu w pojedynczej próbie równym   to dla każdego  

 

Słownie: niezależnie od wyboru szerokości przedziału wokół wartości oczekiwanej, prawdopodobieństwo dla dużych   będzie dowolnie bliskie  

Dowód słabego prawa wielkich liczb opiera się na nierówności Czebyszewa.

Mocne prawo wielkich liczb Bernoulliego mówi, że ciąg   dąży do   prawie na pewno. Dowód tego faktu wykorzystuje nierówność Bernsteina.

Mocne prawo wielkich liczbEdytuj

Dla ciągów (całkowalnych) zmiennych losowych wprowadza się definicję spełniania przez nich tzw. mocnego (i słabego) prawa wielkich liczb.

Ciąg zmiennych losowych   spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy

 

Mocne prawo wielkich liczb KołmogorowaEdytuj

Jeżeli   jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz
 
to ciąg   spełnia MPWL.

Wynika z niego następujący wniosek: jeżeli   jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o tym samym rozkładzie oraz   to

 

prawie na pewno.

Twierdzenie KołmogorowaEdytuj

W ogólności, jeśli   jest rosnącym do nieskończoności ciągiem liczb dodatnich, a ponadto zbieżny jest szereg

 

to

 

prawie na pewno.

Dowód twierdzenia opiera się na znanych z analizy lematach Toeplitza oraz Kroneckera, a także następującym fakcie z rachunku prawdopodobieństwa: jeśli   jest ciągiem całkowalnych niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratem oraz szereg

 

jest zbieżny, to szereg

 

jest zbieżny prawie na pewno.

Słabe prawo wielkich liczbEdytuj

Mówimy, że ciąg zmiennych losowych   spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL), gdy

 

ze względu na prawdopodobieństwo.

Słabe prawo wielkich liczb dla parami niezależnych zmiennych o skończonej wariancjiEdytuj

Jeżeli   jest ciągiem parami niezależnych zmiennych losowych całkowalnych z kwadratami oraz

 

to ciąg   spełnia SPWL. Dowód tego faktu również opiera się na nierówności Czebyszewa.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Zwiększając liczbę doświadczeń opartych na zdarzeniach losowych, możemy oczekiwać rozkładu wyników coraz lepiej odpowiadającego rozkładowi prawdopodobieństw zdarzeń (na przykład, przeprowadzając wielką liczbę rzutów symetryczną monetą, możemy oczekiwać że stosunek liczby „wyrzuconych” orłów do liczby wszystkich rzutów będzie bliski 0,5 (wartości prawdopodobieństwa); tym większe są na to szanse im większa jest liczba rzutów).