Nierówność Czebyszewa

Nierówność Czebyszewa podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość nieujemnej zmiennej losowej jest większa lub równa od z góry ustalonej dodatniej liczby. Nazwana na cześć Pafnutija Czebyszewa.

Jedynym warunkiem na rozkład zmiennej losowej jest jej nieujemność (ściślej: zerowe prawdopodobieństwo ) Nierówność ta jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Nierówność Czebyszewa-Bienayme jest odpowiednikiem nierówności Czebyszewa także dla zmiennych niespełniających tego warunku i często również jest nazywana po prostu nierównością Czebyszewa, co może prowadzić do nieporozumień.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie zmienną losową na przestrzeni probabilistycznej   taką, że   zaś   jest jej wartością oczekiwaną. Wówczas dla każdego   zachodzi:

 

DowódEdytuj

Z prawdopodobieństwem 1 zachodzą następujące nierówności:

 

gdzie   jest funkcją wskaźnikową zdarzenia   zdefiniowaną jako:

 

Pierwsza z nierówności wynika w oczywisty sposób z następujących dwóch nierówności (z których pierwsza zachodzi z prawdopodobieństwem 1):

  oraz  

Druga nierówność przyjmuje postać:

 

czyli jest oczywista.

Biorąc wartości oczekiwane powyższych zmiennych losowych i korzystając z elementarnych własności wartości oczekiwanej, otrzymujemy łańcuszek nierówności:

 

Ostatnia równość wynika z definicji całki Lebesgue’a z funkcji wskaźnikowej. Dzieląc skrajne wyrazy przez   otrzymujemy nierówność Czebyszewa.

Z nierówności Czebyszewa wynikają nierówności: Markowa, Czebyszewa-Bienayme, wykładnicza Czebyszewa.

Zobacz teżEdytuj