Wykładnicza nierówność Czebyszewa

Wykładnicza nierówność Czebyszewa – nierówność używana w rachunku prawdopodobieństwa, która wynika bezpośrednio z Nierówności Czebyszewa.

Twierdzenie

Dla każdej zmiennej losowej $X$ o wartości oczekiwanej $E(X),$ jeśli $E(e^{pX})<\infty$ dla pewnego $p>0,$ to dla $\lambda \in [0,p]$

$P(X\geqslant \varepsilon )\leqslant {\frac {E(e^{\lambda X})}{e^{\lambda \varepsilon }}}$

dla każdego $\varepsilon >0.$

Dowód

Wykładnicza nierówność Czebyszewa wynika bezpośrednio z podstawienia w nierówności Czebyszewa $e^{\lambda X}$ zamiast $X$ oraz $e^{\lambda \varepsilon }$ zamiast $\varepsilon ,$ której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak, ponieważ $e^{\lambda X}\geqslant e^{\lambda \varepsilon }\iff X\geqslant \varepsilon .$

Zobacz też

• nierówność Czebyszewa
• nierówność Czebyszewa-Bienayme
• nierówność Markowa