Nierówność Czebyszewa-Bienayme

Nierówność Czebyszewa-Bienaymé podaje górne ograniczenie prawdopodobieństwa zdarzenia, że wartość zmiennej losowej ze skończoną wariancją leży poza pewnym przedziałem wokół jej wartości oczekiwanej.

Nierówność ta jest prawdziwa niezależnie od rozkładu zmiennej losowej, jest więc bardzo ogólnym ograniczeniem. Dla konkretnych rozkładów (np. rozkładu normalnego) można podać znacznie lepsze ograniczenia.

Nierówność Czebyszewa-Bienaymé wynika bezpośrednio z nierówności Czebyszewa.

TwierdzenieEdytuj

Dla każdej zmiennej losowej   o wartości oczekiwanej   i skończonej wariancji   i dla każdego  

 .

DowódEdytuj

Nierówność Czebyszewa-Bienayme wynika bezpośrednio z podstawienia w Nierówności Czebyszewa   zamiast   oraz   zamiast   której to nierówności dowód jest podany w dotyczącym jej artykule.

Jest tak ponieważ   oraz z definicji  

Zobacz teżEdytuj