Otwórz menu główne

Centralne twierdzenie graniczne

twierdzenie rachunku prawdopodobieństwa
Przykładowy rozkład prawdopodobieństwa pewnej zmiennej
Rozkład prawdopodobieństwa średniej dwóch takich niezależnych zmiennych
Rozkład prawdopodobieństwa średniej trzech takich niezależnych zmiennych
Rozkład prawdopodobieństwa średniej czterech takich niezależnych zmiennych. Jest już bardzo zbliżony do rozkładu normalnego.

Centralne twierdzenie graniczne – jedno z najważniejszych twierdzeń rachunku prawdopodobieństwa, uzasadniające powszechne występowanie w przyrodzie rozkładów zbliżonych do rozkładu normalnego.

TezaEdytuj

Sformułowanie szczególneEdytuj

Centralne twierdzenie graniczne to twierdzenie matematyczne mówiące, że jeśli  niezależnymi zmiennymi losowymi o jednakowym rozkładzie, takiej samej wartości oczekiwanej   oraz dodatniej i skończonej wariancji   to zmienna losowa o postaci

 

zbiega według rozkładu do standardowego rozkładu normalnego, gdy   rośnie do nieskończoności.

Sformułowanie ogólneEdytuj

Centralne twierdzenie graniczne znane też pod nazwą twierdzenia Lindeberga-Lévy’ego mówi:

Niech   będzie schematem serii, w którym   dla   i dla każdego   mamy   Jeśli spełniony jest warunek Lindeberga, tj. dla każdego   zachodzi   to  

DowódEdytuj

Dowodów centralnego twierdzenia granicznego w wersji ogólnej jest kilka. Wszystkie są dość skomplikowane i wymagają korzystania z wielu zaawansowanych narzędzi matematycznych. Poniżej znajduje się jeden z prostszych dowodów, nie dający jednak oszacowania wartości błędu.

Pierwszym krokiem dowodu jest sformułowanie i udowodnienie użytecznych lematów.

Lemat 1

Niech   będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że   zachodzi   oraz   Wówczas:  

  • a)   
  • b)  

Dowód

Oznaczmy   Wówczas  

Ustalmy dowolne   Wówczas zgodnie z twierdzeniem Lagrange’a istnieją takie   że:

      

Na tej samej zasadzie:

     

Lemat 2

Jeżeli   to

 

Dowód

  

Dokonujemy podstawienia  

  

Teraz całkujemy przez części:

     

Drugi krok polega na oszacowaniu pewnej wartości:

Niech   będzie funkcją trzykrotnie różniczkowalną taką, że   oraz  

Rozważamy niezależne zmienne   o rozkładzie normalnym takie, że   oraz  

Wówczas:

   
  
  

Przy czym ostatnia nierówność to nierówność trójkąta.

Drugi ze składników daje się na podstawie Lematu 1 oszacować w sposób następujący:

  

Tymczasem   gdzie   W związku z tym (korzystając z Lematu 2):

  

Wobec tego

  

Pierwszy ze składników można natomiast oszacować w sposób następujący:

    

Z kolei szacujemy:

   

oraz

   

Ostatnia nierówność wynika z Lematu 1.

Zatem   mamy następujące oszacowanie:

  

Trzeci krok polega na wielokrotnym zastosowaniu oszacowania uzyskanego powyżej.

    

Rozpatrzmy  -ty z powyższych wyrazów.

Podstawiamy

 

Zmienna   jest niezależna od   i   Wobec tego:

         

Zatem:

 

     

Pierwszy i ostatni składnik z warunku Lindeberga zbiegają do zera, gdy   dąży do nieskończoności. W związku z tym:

 

Oznacza to, że:

   gdzie  

Czwarty krok polega na wyliczenie dystrybuanty granicznej na podstawie powyższych oszacowań.

Weźmy funkcję   spełniającą warunek    dla pewnych  

Wówczas:

 

Ale:

 

oraz

 

W związku z tym:

  

oraz podobnie

  

Otrzymujemy więc

  

Ale z ciągłości dystrybuanty rozkładu normalnego wnioskujemy, że

 

Ponieważ punktowa zbieżność dystrybuant w punktach ciągłości dystrybuanty granicznej jest równoważna zbieżności według rozkładu, więc ostatecznie:

 
 

Częste nieporozumieniaEdytuj

  • Centralne twierdzenie graniczne nie sprawi, by przy dostatecznie dużej próbie rozkład stał się normalny. Jedynie rozkład średniej z tej próby upodabnia się do normalnego.
  • Centralne twierdzenie graniczne jest prawdziwe tylko dla rozkładów o skończonej wariancji. Zobacz stabilność struktury.

Zobacz teżEdytuj