Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Cauchy’ego – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym. Ma ono ważne zastosowania teoretyczne. Pozwala między innymi oszacować błąd we wzorze Taylora oraz uzasadnić regułę de l’Hospitala. Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a.

TwierdzenieEdytuj

Jeżeli dane funkcje   i   są:

to istnieje punkt   należący do przedziału   taki, że:

 

DowódEdytuj

Zdefiniujmy  

 

Zauważmy, że   jest różniczkowalna na   oraz   więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje   takie, że   Ponadto

 

co kończy dowód.

WniosekEdytuj

Jeżeli funkcje   i   są:

  • ciągłe w przedziale domkniętym   różniczkowalne w przedziale   oraz dodatkowo   dla  

to istnieje taki punkt   że:

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj