Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Cauchy’ego, uogólnione twierdzenie o wartości średniej – twierdzenie w analizie matematycznej, konkretniej w analizie rzeczywistej i rachunku różniczkowym, zaliczane do twierdzeń o wartości średniej. Mówi, że jeśli dwie funkcje rzeczywiste na przedziale są różniczkowalne, to istnieje w tym przedziale punkt, dla którego pewne wyrażenia są równe.

Ilustracja twierdzenia Cauchy’ego o wartości średniej – krzywa płaska opisana parametrycznie, dwoma funkcjami różniczkowalnymi $f$ i $g$. Sieczna tej krzywej, zaznaczona na czerwono, zawsze ma równoległą do niej styczną, zaznaczoną tu na zielono.

Jest to uogólnienie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, a przez to – twierdzenia Rolle’a. Zastosowania twierdzenia Cauchy’ego to między innymi:

• oszacowanie błędu (reszty) we wzorze Taylora;
• dowód reguły de l’Hospitala.

Twierdzenie

Jeżeli dane funkcje $f$ i $g$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym $[a,b],$
• różniczkowalne w przedziale $(a,b),$

to istnieje punkt $c$ należący do przedziału $(a,b)$ taki, że:

$g'(c)\cdot \left[f(b)-f(a)\right]=f'(c)\cdot \left[g(b)-g(a)\right].$

Dowód

Zdefiniujmy $h:[a,b]\to \mathbb {R}$

$h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x).$

Zauważmy, że $h$ jest różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $h(a)=h(b),$ więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje $c\in (a,b)$ takie, że $h'(c)=0.$ Ponadto

$0=h'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c),$

co kończy dowód.

Wniosek

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym $[a,b],$ różniczkowalne w przedziale $(a,b)$ oraz dodatkowo $g'(x)\not =0$ dla $x\in (a,b),$

to istnieje taki punkt $c\in (a,b),$ że:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}.$

Bibliografia

• Grigorij Michajłowicz Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994. ISBN 83-01-02175-6.
• Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy ze wstępem do równań różniczkowych. Wyd. VI. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1963, seria: Biblioteka Matematyczna, tom 2.
• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2006. ISBN 978-83-01-14946-8.
• PawełP. Strzelecki PawełP., Analiza matematyczna I (skrypt wykładu) [online], mimuw.edu.pl, 14 grudnia 2018 [dostęp 2024-07-08] .

Literatura dodatkowa

• Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976, s. 107–108. ISBN 0-07-054235-X.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extended Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Cauchy theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].