Twierdzenie Cauchy’ego (rachunek różniczkowy)

Twierdzenie Cauchy’ego – jedno z kilku twierdzeń o wartości średniej w rachunku różniczkowym. Twierdzenie Cauchy’ego jest uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a, a przez to – twierdzenia Rolle’a.

Ma ono ważne zastosowania teoretyczne. Pozwala między innymi oszacować błąd we wzorze Taylora oraz uzasadnić regułę de l’Hospitala.

Twierdzenie

Jeżeli dane funkcje $f$ i $g$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym $[a,b],$
• różniczkowalne w przedziale $(a,b),$

to istnieje punkt $c$ należący do przedziału $(a,b)$ taki, że:

$g'(c)\cdot \left[f(b)-f(a)\right]=f'(c)\cdot \left[g(b)-g(a)\right].$

Dowód

Zdefiniujmy $h:[a,b]\to \mathbb {R}$

$h(x)=(f(b)-f(a))g(x)-(g(b)-g(a))f(x).$

Zauważmy, że $h$ jest różniczkowalna na $(a,b)$ oraz $h(a)=h(b),$ więc na mocy twierdzenia Rolle’a istnieje $c\in (a,b)$ takie, że $h'(c)=0.$ Ponadto

$0=h'(c)=(f(b)-f(a))g'(c)-(g(b)-g(a))f'(c),$

co kończy dowód.

Wniosek

Jeżeli funkcje $f$ i $g$ są:

• ciągłe w przedziale domkniętym $[a,b],$ różniczkowalne w przedziale $(a,b)$ oraz dodatkowo $g'(x)\not =0$ dla $x\in (a,b),$

to istnieje taki punkt $c\in (a,b),$ że:

${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}.$

Zobacz też

• twierdzenie całkowe Cauchy’ego

Bibliografia

• Ryszard Rudnicki: Wykłady z analizy matematycznej. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 144. ISBN 83-01-13554-9.
• G.M. Fichtenholz: Rachunek różniczkowy i całkowy. Tom 1. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1994, s. 199. ISBN 83-01-02175-6.
• Walter Rudin: Principles of Mathematical Analysis. McGraw-Hill, 1976, s. 107–108. ISBN 0-07-054235-X.

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Extended Mean-Value Theorem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2022-06-20].
• Cauchy theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-08-06].