Twierdzenie Rolle’a

Rolle's theorem.svg

Twierdzenie Rolle’atwierdzenie klasycznej analizy matematycznej mówiące, że funkcja różniczkowalna przyjmująca równe wartości w dwóch różnych punktach ma pomiędzy nimi punkt stacjonarny, tzn. punkt, w którym nachylenie prostej stycznej do wykresu funkcji względem osi OX jest równe zeru[1].

Twierdzenie to opublikował (dla wielomianów) francuski matematyk Michel Rolle w 1691. W innej postaci znane ono było w 1150 roku hinduskiemu matematykowi Bhaskarze.

Wersja standardowaEdytuj

Niech   będzie ciągłą funkcją rzeczywistą określoną na przedziale domkniętym   różniczkowalną na przedziale otwartym   Wówczas jeżeli   to istnieje taki punkt   należący do przedziału otwartego   że

 

Z tej wersji twierdzenia Rolle’a korzysta się przy dowodzie twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej, którego twierdzenie Rolle’a jest przypadkiem szczególnym.

DowódEdytuj

Jeżeli   to   dla każdego   Gdy   nie jest tożsamościowo równa stałej, to istnieje taki punkt   dla którego zachodzi

 

lub

 

Przypuśćmy, że zachodzi pierwszy przypadek, tzn. dla pewnego argumentu wartość funkcji jest większa od   rozumowanie w drugim przypadku jest analogiczne (wówczas trzeba rozważać wartość najmniejszą zamiast największej).

Określona na przedziale zwartym   funkcja ciągła   na mocy twierdzenia Weierstrassa przyjmuje wartość największą, tzn. istnieje taki punkt   że

 

dla  

Z założenia, że istnieje wartość większa od   wynika, że   tzn.   Warunkiem koniecznym istnienia ekstremum globalnego funkcji   w   jest znikanie pochodnej w tym punkcie, co dowodzi tezy.

UogólnieniaEdytuj

Niech   będzie rzeczywistą liczbą dodatnią, a   wtedy   Punkt   można zapisać jako   gdzie  

Przy takich oznaczeniach twierdzenie Rolle’a ma postać:

Jeśli
 
to istnieje punkt   dla którego
 

Rezygnacja z warunku   czyli   prowadzi do ogólniejszego twierdzenia Lagrange’a:

Istnieje taki punkt   który spełnia tożsamość
 

Z kolei dalekim uogólnieniem twierdzenia Lagrange’a jest twierdzenie Taylora mówiące, że:

Istnieje taki punkt   dla którego zachodzi:
 
gdzie o funkcji   zakłada się, by była   razy różniczkowalna.

Twierdzenie Rolle’a uzyskuje się z niego przyjmując  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Rolle’a twierdzenie, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-09-30].

BibliografiaEdytuj