Nierówność Bernsteina

Nierówności Bernsteina – nierówności pojawiające się w rachunku prawdopodobieństwa. Ich nazwa pochodzi od nazwiska radzieckiego matematyka, Siergieja Bernsteina (nie mylić z niemieckim matematykiem Felixem Bernsteinem, zajmującym się głównie teorią mnogości).

Nierówność Bernsteina

Niech $X_{1},\dots ,X_{n}$ będą niezależnymi zmiennymi losowymi na przestrzeni $(\Omega ,{\mathcal {A}},P)$ o tym samym rozkładzie takimi, że $|X_{i}|\leqslant K,{\mbox{E}}X_{i}=0,{\mbox{E}}X_{i}^{2}=\sigma ^{2}$ dla pewnej liczby $K\geqslant 0$ oraz wszystkich liczb naturalnych $i\leqslant n.$ Wówczas, prawdziwa jest następująca nierówność, zwana nierównością Bernsteina:

P{\bigg (}{\Big |}X_{1}+\ldots +X_{n}{\Big |}>t\sigma {\sqrt {n}}{\bigg )}\leqslant 2\exp \left(-{\frac {t^{2}}{2}}\cdot {\frac {1}{1+{\frac {Kt}{3\sigma {\sqrt {n}}}}}}\right).

Nierówność Bernsteina (schemat Bernoulliego)

Jeśli $S_{n}$ jest liczbą sukcesów w schemacie $n$ prób Bernoulliego z prawdopodobieństwem sukcesu $p,$ to dla każdego $\varepsilon >0$

P\left(\left|{\frac {S_{n}}{n}}-p\right|>\varepsilon \right)\leqslant 2e^{-{\frac {n\varepsilon ^{2}}{4}}}.

Szczególnym przypadkiem tej nierówności jest tzw. symetryczna nierówność Bernsteina, która mówi, że jeżeli $(U_{n})$ jest ciągiem Bernoulliego, to

P\left({\frac {U_{1}+\ldots +U_{n}}{\sqrt {n}}}>r\right)\leqslant e^{-{\frac {r^{2}}{2}}}.

Bibliografia

Jacek Jakubowski, Rafał Sztencel: Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Warszawa: SCRIPT, 2004.