Zasada Cavalieriego

Zasada Cavalieriego[1] – metoda obliczania objętości brył przestrzennych, odkryta przez Archimedesa i opisana ponownie przez XVII-wiecznego matematyka włoskiego, Bonaventurę Cavalieriego. Obecnie uogólniona na wielowymiarową miarę Lebesgue’a oraz abstrakcyjne przestrzenie z miarą produktową. Zasada Cavalieriego, w swoim oryginalnym sformułowaniu, mówi że[2]:

Caval1.jpg
Fragmenty pracy Cavalieriego Geometria indivisibilibus quadam ratione promota
Jeśli dwie bryły mają tę własność, że ich przekroje wszystkimi płaszczyznami równoległymi do jednej, z góry ustalonej płaszczyzny, mają te same pola, to te bryły mają równe objętości.

Twierdzenie to zwykle wystarcza do obliczania objętości znanych brył, jak np. stożek czy elipsoida, jednak może być w naturalny sposób uogólnione na język współczesnej matematyki.

Wstępne definicjeEdytuj

Niech   będą takimi liczbami naturalnymi, że   Wówczas można dokonać utożsamienia:

 

Niech   oraz   oznacza element przestrzeni   Zbiory

  •  
  •  

nazywane są, odpowiednio, cięciem górnym (wzdłuż punktu  ) i cięciem dolnym (wzdłuż punktu  ) zbioru  

Niech ponadto

  •  
  •  

tzn.  rzutowaniami zbioru   na przestrzenie, odpowiednio,   i   Symbolami   oznaczane tu będą σ-ciała zbiorów mierzalnych w sensie Lebesgue’a względem, odpowiednio,     i  -wymiarowej miary Lebesgue’a  

Zasada CavalieriegoEdytuj

Jeśli   to

  • dla prawie wszystkich   zbiór   jest mierzalny w sensie  -wymiarowej miary Lebesgue’a,
  • funkcja   jest mierzalna,
  •  

Jeżeli ponadto,   to

 

KomentarzeEdytuj

  • Cięcia   są mierzalne dla prawie wszystkich   Jest to konsekwencją faktu, iż σ-ciało produktowe   jest zawarte w sposób właściwy w   tzn. istnieją takie zbiory postaci   gdzie   że zbiór   lub zbiór   nie jest mierzalny względem odpowiedniego σ-ciała.
  • Zasadę Cavalieriego używa się często do dowodu twierdzenia Fubiniego – z drugiej strony, jeżeli dowód twierdzenia Fubiniego prowadzony jest bez jej to użycia, to wtedy można uznać ją za wniosek tego twierdzenia.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Odmieniamy Cavalier i ego, patrz Słownik Ortograficzny PWN.
  2. Cavalieriego zasada, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2022-07-20].

BibliografiaEdytuj

  • Witold Kołodziej: Analiza matematyczna. Warszawa: PWN, 1979.
  • Krzysztof Maurin: Analiza. Część I. Elementy. Warszawa: PWN, 1976.

Linki zewnętrzneEdytuj