Elipsoida

Elipsoida dla a=4, b=2, c=1

Elipsoida – powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

Równania elipsoidy

Równanie elipsoidy o środku symetrii w punkcie $(x_{0},y_{0},z_{0}),$ osiach równoległych do osi układu i półosiach długości $a,b,c$ ma postać:

${\frac {(x-x_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y_{0})^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(z-z_{0})^{2}}{c^{2}}}=1.$

Dla środka w początku układu współrzędnych równanie to przyjmuje postać:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.$

Elipsoida, niezależnie od jej ustawienia w przestrzeni i doboru układu współrzędnych spełnia równanie powierzchni drugiego stopnia:

$a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,$

przy czym w celu odróżnienia jej od innych takich powierzchni należy zastosować (przyjmując $a_{ij}=a_{ji}$) warunki:

$\Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0$

oraz

$T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.$

W tym samym układzie współrzędnych elipsoida może być opisana również za pomocą równania parametrycznego:

${\begin{cases}x(u,v)=x_{0}+a\cos u\cos v\\y(u,v)=y_{0}+b\sin v\\z(u,v)=z_{0}+c\sin u\cos v\end{cases}}$

gdzie:

$u\in [-\pi ,\pi ),$

$v\in [-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}].$

W układzie współrzędnych sferycznych elipsoidę opisuje wzór

$r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}$

Objętość

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:

$V={\frac {4}{3}}\pi abc.$

Pole powierzchni

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

$S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),$

gdzie:

$m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},$

$\theta =\arcsin {\varepsilon },$

$\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},$

a $F(\theta ,m)$ i $E(\theta ,m)$ są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Zobacz też

• geoida
• sferoida