Elipsoida

Elipsoida – powierzchnia, której wszystkie przekroje płaskie są elipsami. Czasem tym słowem oznacza się też bryłę ograniczoną tą powierzchnią. Szczególnym przypadkiem elipsoidy jest elipsoida obrotowa, czyli powierzchnia ograniczona powstała przez obrót elipsy wokół własnej osi symetrii.

Elipsoida dla a=4, b=2, c=1

Równania elipsoidy

Równania elipsoidy są najprostsze, gdy jej osie symetrii pokrywają się z osiami układu współrzędnych. Niech półosie mają długości $a,b,c.$

• równanie we współrzędnych kartezjańskich:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.$

• równanie parametryczne:

${\begin{cases}x(u,v)=a\cos u\cos v\\y(u,v)=b\sin v\\z(u,v)=c\sin u\cos v\end{cases}}$

gdzie:

$u\in \left[-\pi ,\pi \right),$

$v\in \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right].$

• równanie biegunowe w układzie współrzędnych sferycznych:

$r^{2}(\alpha ,\beta )={\frac {a^{2}b^{2}c^{2}}{a^{2}b^{2}\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta +a^{2}c^{2}\sin ^{2}\beta +b^{2}c^{2}\cos ^{2}\alpha \cos ^{2}\beta }}$

Elipsoida jako kwadryka

Elipsoida jest kwadryką czyli pewną powierzchni drugiego stopnia o równaniu:

$a_{11}x^{2}+a_{22}y^{2}+a_{33}z^{2}+2a_{12}xy+2a_{23}yz+2a_{31}zx+2a_{14}x+2a_{24}y+2a_{34}z+a_{44}=0,$

przy czym (przyjmując $a_{ij}=a_{ji}$):

$\Delta =\left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34}\\a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44}\end{matrix}}\right|<0,$

$S\delta =(a_{11}+a_{22}+a_{33})\cdot \left|{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{12}&a_{22}&a_{23}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\end{matrix}}\right|>0$

oraz

$T=a_{22}a_{33}+a_{33}a_{11}+a_{11}a_{22}-a_{23}^{2}-a_{31}^{2}-a_{12}^{2}>0.$

Objętość

Objętość elipsoidy wyraża się wzorem:

$V={\frac {4}{3}}\pi abc.$

Pole powierzchni

Pole powierzchni elipsoidy wyraża się wzorem:

$S=2\pi \left(c^{2}+{\frac {bc^{2}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}F(\theta ,m)+b{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}E(\theta ,m)\right),$

gdzie:

$m={\frac {a^{2}(b^{2}-c^{2})}{b^{2}(a^{2}-c^{2})}},$

$\theta =\arcsin {\varepsilon },$

$\varepsilon ={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}},$

a $F(\theta ,m)$ i $E(\theta ,m)$ są niekompletnymi całkami eliptycznymi pierwszego i drugiego rodzaju.

Zobacz też

• geoida
• sferoida