Lemat Fatou

Lemat Fatoulemat noszący nazwisko Pierre’a Fatou, który daje ograniczenie górne na wartość całki Lebesgue’a funkcji określonej jako granica dolna pewnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych.

Lemat Fatou jest jednym z trzech, obok twierdzeń o zbieżności monotonicznej i ograniczonej (oba autorstwa Henriego Lebesgue’a), podstawowych twierdzeń granicznych analizy i teorii miary. Wykorzystywany jest w niektórych dowodach twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej oraz zupełności przestrzeni oraz w teorii prawdopodobieństwa przy wyznaczaniu wartości oczekiwanych pewnych zmiennych losowych.

LematEdytuj

Niech   będą funkcjami  -mierzalnymi określonymi na wspólnej przestrzeni z miarą   dla   Wówczas

 
Uwaga

Jeśli funkcje   są sumowalne (całkowalne) i prawa strona nierówności jest skończona, to sumowalna (całkowalna) jest również funkcja podcałkowa po lewej stronie nierówności.

DowódEdytuj

 
Pierre Fatou (1878-1929)

Niech   oznacza nieujemną funkcję prostą mniejszą lub równą   Niech ponadto zbiory  -mierzalne   będą rozłączne oraz   dla  

Niech   będzie ustalone. Wówczas

 

gdzie:

 

Ponieważ

 

zatem

 

stąd zaś

 

Nierówność ta obowiązuje dla każdego   a każda funkcja prosta   jest mniejsza lub równa   Dlatego

 

gdzie   oznacza całkę dolną[a].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Całka dolna funkcji   definiowana jest jako
     
    Podobnie definiuje się całkę górną
     
    Gdy całki górna i dolna funkcji  -mierzalnej   są równe, to funkcję nazywa się  -całkowalną i definiuje jej całkę jako
     
    (w tym ujęciu funkcja może mieć zatem całkę równą   lub   nieujemna funkcja  -mierzalna jest zawsze  -całkowalna).