Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznej

Ten artykuł dotyczy zbieżności ciągu funkcji mierzalnych. Zobacz też: Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego liczb rzeczywistych.

Twierdzenie Lebesgue’a o zbieżności monotonicznejtwierdzenie w analizie i teorii miary stwierdzające, że granica monotonicznie zbieżnego ciągu nieujemnych funkcji mierzalnych jest mierzalna. Jeśli dodatkowo funkcje w ciągu są całkowalne i zbiór wartości całek jest ograniczony, to funkcja graniczna też jest całkowalna i jej całka jest granicą całek z wyjściowych funkcji.

Nazwa twierdzenia została wprowadzona dla uhonorowania francuskiego matematyka Henri Lebesgue’a.

TwierdzenieEdytuj

Załóżmy że:

(a)   jest przestrzenią mierzalną z miarą,
(b)   (dla  ) jest funkcją mierzalną,
(c)   dla każdego  
(d) dla wszystkich   istnieje granica   niech funkcja   będzie zdefiniowana przez
  dla  

Wówczas funkcja   jest mierzalna. Jeśli dodatkowo

(e) każda z funkcji   jest całkowalna i zbiór   jest ograniczony z góry,

to funkcja   jest całkowalna oraz  

Powyższe twierdzenie często formułuje się tak, że w (c) i (d) jest wymagana zbieżność prawie wszędzie, a nie dla każdego  

Szkic dowoduEdytuj

Mierzalność funkcji granicznej jest zwykle dowodzona osobno; wynika ona z faktu, że granica zbieżnego ciągu funkcji mierzalnych jest mierzalna[1]. Załóżmy więc, że są spełnione warunki (a)-(e). Jak wspomnieliśmy,   jest mierzalna. Ponieważ ciąg   jest monotonicznie rosnący i ograniczony z góry (na mocy założeń (c) i (e)), więc jest on zbieżny. Niech  

Przypuśćmy, że   jest całkowalną funkcją prostą taką, że   Ustalmy na jakiś czas liczbę   Dla liczby naturalnej   połóżmy

 

Oczywiście,   (jako że zarówno   jak i   są mierzalne) oraz   (używamy tu założenia (c)). Ponieważ   ilekroć   to używając założenia (d) widzimy, że   Zauważmy, że

(i)  

Następnie, pamiętając że   jest funkcją prostą, sprawdza się że

(ii)  

Przechodząc z   do granicy w (i) i używając (ii), otrzymujemy

 

Ponieważ powyższa nierówność zachodzi dla każdej liczby   to otrzymujemy iż  

Tak więc wykazaliśmy, że dla każdej funkcji prostej   spełniającej nierówności   mamy że   a więc funkcja   jest całkowalna oraz   (Czytelnik może zechcieć skonsultować ten wniosek z definicją funkcji całkowalnych w sensie Lebesgue’a.) Ponieważ jednocześnie   (jako że  ), to mamy też

 

ZastosowaniaEdytuj

  • Twierdzenie o zbieżności monotonicznej jest używane w niektórych dowodach lematu Fatou.
  • Jest ono również używane (przy odpowiednich założeniach o funkcjach  ) do całkowań nieujemnych szeregów funkcyjnych:
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Walter Rudin: Analiza rzeczywista i zespolona. Wydawnictwo Naukowe PWN, s. 23, 29.

BibliografiaEdytuj