Zbieżność monotoniczna

Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.

Ciągi liczbowe

Ciąg liczb rzeczywistych $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest monotonicznie zbieżny do liczby $a,$ jeśli $(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby $a.$

Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.

Ciągi funkcyjne

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem oraz $f_{n},f\colon X\longrightarrow \mathbb {R} .$

Ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji $f,$ jeśli

1. ${}\quad (\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\leqslant f_{n+1}(x){\big )}$ lub $(\forall n\in \mathbb {N} )(\forall x\in X){\big (}f_{n}(x)\geqslant f_{n+1}(x){\big )}$ oraz
2. ${}\quad (f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny punktowo do funkcji $f,$ tzn. dla każdego $x\in X$ mamy, że $f(x)=\lim \limits _{n\to \infty }f_{n}(x).$

Warunek (1) zapewnia, że ciąg $(f_{n}(x))_{n\in \mathbb {N} }$ jest niemalejący dla dowolnego $x\in X$ albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego $x\in X.$ Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg ${\big (}f_{n}(x){\big )}_{n\in \mathbb {N} }$ jest monotoniczny dla każdego $x\in X$.

Przykładowe użycie

• Twierdzenie Diniego: jeśli $f_{n},f\colon [0,1]\longrightarrow \mathbb {R}$ są ciągłe, ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji $f,$ to $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ zbiega jednostajnie do $f.$
• Twierdzenie Lebesgue’a: jeśli $f_{n}\colon [0,1]\longrightarrow [0,\infty )$ są całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny monotonicznie do funkcji $f,$ to $f$ jest mierzalna oraz ${}\int \limits _{[0,1]}f=\lim \limits _{n\to \infty }\int \limits _{[0,1]}f_{n}.$

Zobacz też

• funkcja monotoniczna
• szereg funkcyjny
• zbieżność punktowa ciągu funkcji
• zbieżność jednostajna
• twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego