Zbieżność monotoniczna

Zbieżność monotoniczna – własność ciągu liczb rzeczywistych lub funkcji rzeczywistych.

Ciągi liczboweEdytuj

Ciąg liczb rzeczywistych   jest monotonicznie zbieżny do liczby   jeśli   jest ciągiem monotonicznym zbieżnym do liczby  

Ciąg monotoniczny jest zbieżny wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony. Zatem ciągi monotonicznie zbieżne to dokładnie ograniczone ciągi monotoniczne.

Ciągi funkcyjneEdytuj

Niech   będzie dowolnym zbiorem oraz  

Ciąg   jest zbieżny monotonicznie do funkcji   jeśli

  1.   lub   oraz
  2.   jest zbieżny punktowo do funkcji   tzn. dla każdego   mamy, że  

Warunek (1) zapewnia, że ciąg   jest niemalejący dla dowolnego   albo też ciąg jest nierosnący dla dowolnego   Jest to więc mocniejszy warunek niż stwierdzenie, że ciąg   jest monotoniczny dla każdego  .

Przykładowe użycieEdytuj

  • Twierdzenie Diniego: jeśli   są ciągłe, ciąg   jest zbieżny monotonicznie do funkcji   to   zbiega jednostajnie do  
  • Twierdzenie Lebesgue’a: jeśli  całkowalne w sensie Lebesgue’a i ciąg   jest zbieżny monotonicznie do funkcji   to   jest mierzalna oraz  

Zobacz teżEdytuj