Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego

Twierdzenie o zbieżności ciągu monotonicznego – twierdzenie w analizie matematycznej, ustanawiające warunek konieczny i wystarczający na to, by monotoniczny ciąg liczbowy był zbieżny.

Wypowiedź twierdzeniaEdytuj

Niech   będzie monotonicznym ciągiem liczb rzeczywistych. Wtedy ciąg ten ma (skończoną) granicę wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony[1].

DowódEdytuj

Załóżmy, że ciąg   jest niemalejący oraz ograniczony. Zbiór   jest niepusty i ograniczony z góry, więc na mocy aksjomatu ciągłości ma kres górny, niech   Dla każdego   istnieje takie naturalne   że   jako że w przeciwnym wypadku   byłoby ograniczeniem górnym   mniejszym od   co przeczy definicji   jako najmniejszego ograniczenia górnego. Skoro   jest niemalejący, to

 

co oznacza, że ciąg   jest zbieżny i jego granicą jest  

Implikacja w drugą stronę wynika z faktu, że każdy ciąg zbieżny jest ograniczony.

Dowód dla ciągu nierosnącego jest analogiczny – wykorzystuje własność mówiącą, że niepusty i ograniczony z dołu zbiór liczb rzeczywistych ma infimum

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Uogólnienie tego twierdzenia zostało podane w: John Bibby. Axiomatisations of the average and a further generalisation of monotonic sequences. „Glasgow Mathematical Journal”. 15, s. 63–65, 1974. 

BibliografiaEdytuj