Twierdzenie Vitalego o zbieżności

Twierdzenie Vitalego o zbieżności – twierdzenie teorii miary oraz analizy matematycznej stwierdzające możliwość dokonania przejścia granicznego pod znakiem całki. Jest uogólnieniem dobrze znanego twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności ograniczonej. Założenia twierdzenia są wyrażone z użyciem teorii miary oraz pojęcia jednakowej całkowalności ciągu funkcyjnego.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie przestrzenią z miarą. Przypuśćmy, że   będzie ciągiem funkcyjnym w przestrzeni Lebesgue’a   oraz niech   gdzie   Wówczas   według  -tej średniej (tj. w  ) wtedy i tylko wtedy, gdy

  • (i)   zbiega według miary do  
  • (ii) rodzina funkcji   jest jednakowo całkowalna,
    tzn. dla dowolnej liczby   istnieje taka   że dla wszystkich zbiorów mierzalnych   takich, że   zachodzi   dla wszystkich  
  • (iii) rodzina funkcji   jest ciasna,
    tzn. dla dowolnej liczby   istnieje zbiór mierzalny   taki, że   oraz   dla wszystkich  

Uwaga. Jeśli miara jest skończona   to warunek (iii) wynika z (i) oraz (ii)[1].

Uwaga. Jeśli istnieje taka funkcja   że   to rodzina   jest jednakowo całkowalna i ciasna.

Uwaga. Zamiast (i) można zakładać, że   zbiega punktowo do  

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. G.B. Folland, Real analysis. Modern techniques and their applications, wyd. 2nd ed, New York: Wiley, 1999, ISBN 0-471-31716-0, OCLC 39849337.