Twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina

Twierdzenie Fichtenholza-Lichtensteina – twierdzenie analizy matematycznej nawiązujące do twierdzenia Fubiniego w kontekście całki Riemanna. Twierdzenie to zostało udowodnione przez G. M. Fichtenholza i L. Lichtensteina.

Sformułowanie: Niech

$f\colon [0,1]\times [0,1]\to \mathbb {R}$

będzie taką funkcją, że dla każdego y ∈ [0,1] funkcja

$x\mapsto f(x,y)$

jest całkowalna w sensie Riemanna oraz dla każdego x ∈ [0,1] funkcja

$y\mapsto f(x,y)$

jest całkowalna w sensie Lebesgue’a. Wówczas funkcje:

$F_{1}(x)=\int \limits _{0}^{1}f(x,y)\,{\mbox{d}}y,$

$F_{2}(y)=\int \limits _{0}^{1}f(x,y)\,{\mbox{d}}x$

są całkowalne, odpowiednio, w sensie Riemanna i Lebesgue'a oraz

$\int \limits _{0}^{1}F_{1}(x)\,{\mbox{d}}x=\int \limits _{0}^{1}F_{2}(y)\,{\mbox{d}}y.$

Bibliografia

• V.I. Bogachev, Measure theory Vol. 1, Springer 2007, ISBN 978-3-540-34513-8