Otwórz menu główne

Twierdzenie Hahna-Kołmogorowatwierdzenie teorii miary umożliwiające skonstruowanie miary przez uprzednie zdefiniowanie przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów (o nieujemnych wartościach rzeczywistych znikającej na zbiorze pustym) na względnie małej algebrze zbiorów, gdzie stosunkowo łatwo jest zapewnić σ-addytywność, a następnie rozszerzenie jej za pomocą tego twierdzenia na potencjalnie dużo większą σ-algebrę; jeżeli funkcja przeliczalnie addytywna jest σ-skończona, to istnieje dokładnie jedno takie rozszerzenie.

Twierdzenia tego jako pierwszy dowiódł Maurice Fréchet[1], jednak nie korzystał on z twierdzenia Carathéodory’ego. Współczesny dowód przedstawili równocześnie Hans Hahn[2] i Andriej Kołmogorow[3]. Z tego powodu w literaturze twierdzenie to opatrywane bywa nazwiskiem Hahna (nie mylić z twierdzeniem Hahna o rozkładzie) lub Hahna-Kołmogorowa. Często nie przypisuje mu się jednak nazwiska i nazywa po prostu twierdzeniem o rozszerzeniu; w związku z tym zdarza się, że bywa ono łączone z twierdzeniem Carathéodory’ego.

TwierdzenieEdytuj

Niech   będzie algebrą podzbiorów zbioru   oraz niech   będzie σ-addytywną funkcją zbiorów spełniającą warunek  

Jeżeli   oznacza najmniejszą σ-algebrę podzbiorów zbioru   która zawiera   to istnieje miara   określona na   o tej własności, że

  dla każdego  

Jeżeli istnieje taka rodzina przeliczalna   że

 

oraz

  dla każdego  

to rozszerzenie   funkcji   do miary jest wyznaczone jednoznacznie.

DowódEdytuj

Dowód podzielony jest na dwie części. W pierwszej wykazuje się istnienie miary zewnętrznej skonstruowanej z przeliczalnie addytywnej funkcji zbiorów, co umożliwia skorzystanie z twierdzenia Carathéodory’ego, a następnie sprawdzenie, iż miara zewnętrzna zawężona do   jest równa   oraz, iż elementy   są mierzalne. Druga część ustanawia jedyność rozszerzenia w przypadku, gdy   jest σ-skończona.

IstnienieEdytuj

Miara zewnętrzna i twierdzenie Carathéodory’ego

Funkcja   gdzie   oznacza zbiór potęgowy zbioru   skonstruowana z   jest postaci

 

i ma wszystkie własności miary zewnętrznej (monotoniczność, przeliczalną podaddytywność i znikanie na zbiorze pustym). Z twierdzenia Carathéodory’ego istnieje przestrzeń mierzalna zupełna   gdzie

 

jest σ-algebrą zbiorów mierzalnych w sensie Carathéodory’ego (spełniających warunek Carathéodory’ego), a   zawężeniem   do  

Poprawność rozszerzenia

Niżej zostanie wykazane, że dla dowolnego   należącego do   jest

  jest przeliczalnym pokryciem zbioru  

W szczególności dla rodziny   zachodzi

 

Niech rodzina   podzbiorów   pokrywa zbiór   Nierówność w drugą stronę uzyskuje się rozbijając   w szereg za pomocą rodziny zbiorów rozłącznych związanych z   korzystając z σ-addytywności   skąd łatwo wyprowadzić żądaną tezę. Z każdą rodziną   można związać rodzinę   parami rozłącznych zbiorów taką, że dla dowolnej liczby naturalnej   suma pierwszych   zbiorów   jest równa sumie pierwszych   zbiorów   Wspomnianą rodzinę otrzymuje się oznaczając   Jak już wspomniano, suma wszystkich   zawiera   dlatego

 

gdzie nierówności wynikają z monotoniczności   Ponieważ dotyczy to także   pokrywajacej   to

 
Zawieranie

Dowiedzenie, iż   należy do   oznacza wykazanie, iż

 

dla dowolnego zbioru   W związku z tym należy przybliżyć   za pomocą rodziny   pokrywającej   którą to właśnie, zamiast   należy rozbić korzystając z addytywności   Dokładniej, dla każdego   istnieje pokrycie   zbioru   takie, że

 

gdzie równość wynika z zapisania   jako   i skorzystania z addytywności   podczas gdy drugą nierówność uzyskuje się zauważając, że   stanowi pokrycie   podobnie ma się rzecz dla   Z dowolności   wynika, iż

 

Nierówność w drugą stronę wynika z podaddytywności  

 
Podsumowanie

Wychodząc od   skonstruowano miarę zewnętrzną   która zawężona σ-algebry   staje się miarą   Wykazano, że algebra   zawiera się w   a miara   dla wszystkich elementów   pokrywa się z będącą jej początkiem przeliczalnie addytywną funkcją zbiorów   Aby zakończyć pierwszą część twierdzenia należy zauważyć, że   jest najmniejszą σ-algebrą zawierajacą   zaś   co daje   Zatem nadużywając notacji poprzez dalsze oznaczanie za pomocą   miary określonej na   jej zawężenia do   można powiedzieć, iż   jest poszukiwaną przestrzenią mierzalną.

Należy wspomnieć, iż w ogólności choć   jest zupełna (część twierdzenia Carathéodory’ego), to przestrzeń   nie musi taka być: ważnym przykładem jest, gdy   jest σ-algebrą borelowską na   zaś   to miara Lebesgue’a.

JedynośćEdytuj

Niżej zakłada się, że   jest σ-skończona.

Niech   będzie miarą na   będącą rozszerzeniem   podczas gdy   dalej będzie oznaczać miarę, także na   skonstruowaną jak wyżej. Wykazaniu równości tych miar przysłuży się skorzystanie z σ-skończoności, co umożliwi pracę w przestrzeni o mierze skończonej. Niech   będzie rodziną zbiorów miary skończonej o sumie równej   Można założyć, że   są parami rozłączne, gdyż można rozważać rodzinę   daną wzorem   Miary dają tę samą wartość na zbiorze mierzalnym   jeżeli zgadzają się na wszystkich przekrojach   co w tym przypadku oznacza, iż

 

Wystarczy więc dowieść, że jeśli   jest miary skończonej i   zawiera się w   to   Aby porównać wspomniane miary należy rozważyć rodzinę   stanowiącą pokrycie   wówczas

 

skąd   gdyż nierówność zachodzi dla dowolnego pokrycia   zbioru   zaś   jest kresem dolnym wyrazów po prawej stronie. Ponadto   Ponieważ   należy do   a jego rozbiciem jest   to

 

a stąd

 
Konieczność założenia σ-skończoności
Zobacz też: miara licząca.

Jeżeli   nie jest σ-skończona, to rozszerzenie nie musi być wyznaczone jednoznacznie, nawet jeśli jest ono σ-skończone.

Niech   oznacza   zaś   oznacza algebrę wszystkich skończonych sum wymiernych przedziałów domknięto-otwartych zawartych w   Można dowieść, że   jest algebrą, a każdy niepusty zbiór w   jest nieskończony.

Niech   będzie funkcją liczącą   zbiorów określoną na   Funkcja   jest skończenie addytywna i σ-addytywna na   Ponieważ każdy niepusty zbiór należący do   jest nieskończony, jego miara  

Niech   będzie σ-algebrą generowaną przez   Można sprawdzić, że   jest zbiorem wszystkich podzbiorów   i obie funkcje   oraz   są σ-skończonymi miarami określonymi na tej σ-algebrze będącymi rozszerzeniami  

PrzypisyEdytuj

  1. Maurice Fréchet. Sur l’intégrale d’une fonctionnelle étendue à un ensemble abstrait. „Bull. Soc. Math. France”, s. 248–265, 1915 (fr.). 
  2. Hans Hahn. Über die multiplikation total-additiver mengefunktionen. „Annali Scuola Norm. Sup. Pisa”, s. 429–452, 1933 (niem.). 
  3. Andriej N. Kołmogorow: Grundbegriffe der Grundbegriffe der wahrscheinlichkeitsrechnung. Berlin: Springer-Verlag, 1933. (niem.)

BibliografiaEdytuj

  • Vladimir Bogachev: Measure theory. T. 1. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-34513-2. (ang.)
  • Gerald Folland: Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications. Nowy Jork: John Wiley & Sons, 1999. ISBN 0-471-31716-0. (ang.)
  • Serge Lang: Real and Functional Analysis. Nowy Jork: Springer, 1993. ISBN 0-387-94001-4. (ang.)