Miara liczącamiara, która przyporządkowuje zbiorowi liczbę jego elementów – gdy jest to zbiór skończony lub nieskończoność – gdy jest to zbiór nieskończony.

Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue’a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

DefinicjaEdit

Niech   będzie dowolnym zbiorem, niech   będzie zbiorem potęgowym zbioru  (tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Niech   oznacza liczbę elementów zbioru, gdy jest on skończony.

Funkcja   określona wzorem

 

jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze   (zob. zbiór skończony).

Przykład: Przestrzenie Edit

Zobacz też: przestrzeń Lp.

Niech dana będzie przestrzeń funkcji   określonych na zbiorze   które:

  • mają wartości skalarne
  • przyjmują co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości
  • sumowalne w  -tej potędze, tzn. dla każdej funkcji   tej przestrzeni oraz dla   liczba
 

jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).

Z definicji widać, że na zbiorze   określona została miara licząca.

Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem   i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w  -tej potędze, określonych na zbiorze  

TwierdzeniaEdit

Tw. 1 Przestrzenie   są szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnych   z dowolną miarą  .

Tw. 2 Przestrzeń   jest:

  • przestrzenią unormowaną, przy czym norma zadana jest wzorem
     
  • przestrzenią metryczną, z metryką generowaną przez normę, tj.
     
  • przestrzenią metryczną zupełna, czyli przestrzenią Banacha.

Tw. 3: Przestrzenie  refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy  

Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)

Niech   niech   będzie wykładnikem sprzężonym do   Istnieje wówczas izometryczny izomorfizm

 

wprowadzany przez standardowe parowanie

 

gdzie oraz  .