Miara licząca

Miara licząca – miara, która przyporządkowuje zbiorowi liczbę jego elementów – gdy jest to zbiór skończony lub nieskończoność – gdy jest to zbiór nieskończony.

Miara ta pozwala sformułować kryteria zbieżności szeregów poprzez zastosowanie do ciągów twierdzeń teorii całki Lebesgue’a (m.in. o zbieżności monotonicznej, o zbieżności ograniczonej, Fubiniego, lematu Fatou, zob. dalej).

Definicja

Niech $X$ będzie dowolnym zbiorem, niech $P(X)$ będzie zbiorem potęgowym zbioru $X$(tj. rodziną wszystkich jego podzbiorów). Niech $|A|$ oznacza liczbę elementów zbioru, gdy jest on skończony.

Funkcja $\mu \colon P(X)\to [0,\infty ]$ określona wzorem

$\mu (A)={\begin{cases}|A|,&{\mbox{gdy }}A{\mbox{ jest zbiorem skończonym}},\\\infty ,&{\mbox{gdy }}A{\mbox{ jest zbiorem nieskończonym}},\end{cases}}$

jest miarą nazywaną miarą liczącą na zbiorze $X$ (zob. zbiór skończony).

Przykład: Przestrzenie $L_{p}(\Gamma ,\mu )$

Niech dana będzie przestrzeń funkcji $f$ określonych na zbiorze $X,$ które:

• mają wartości skalarne,
• przyjmują co najwyżej przeliczalnie wiele niezerowych wartości,
• są sumowalne w $p$-tej potędze, tzn. dla każdej funkcji $f$ tej przestrzeni oraz dla $p\in [0,\infty )$ liczba

$\|f\|_{p}=\left(\sum _{i\in X}{\big |}f(i){\big |}^{p}\right)^{\frac {1}{p}}$

jest liczbą skończoną (przy czym sumowanie przebiega po miejscach niezerowych funkcji).

Z definicji widać, że na zbiorze $X$ określona została miara licząca.

Przestrzeń powyżej zdefiniowaną oznacza się symbolem $\ell _{p}(X)$ i czyta się: przestrzeń funkcyjna funkcji sumowalnych w $p$-tej potędze, określonych na zbiorze $X.$

Twierdzenia

Tw. 1 Przestrzenie $\ell _{p}(X)$ są szczególnym przypadkiem przestrzeni funkcyjnych $L_{p}(X,\mu ),\,\,p\in [0,\infty )$ z dowolną miarą $\mu$.

Tw. 2 Przestrzeń $\ell _{p}(X)$ jest:

• przestrzenią unormowaną, przy czym norma zadana jest wzorem

  $\|f\|_{p}=\left(\sum _{i\in X}{\big |}f(i){\big |}^{p}\right)^{\frac {1}{p}},$

• przestrzenią metryczną, z metryką generowaną przez normę, tj.

  $d(f,g)=\|f-g\|_{p}=\left(\sum _{i\in X}{\big |}f(i)-g(i){\big |}^{p}\right)^{\frac {1}{p}},$

• przestrzenią metryczną zupełna, czyli przestrzenią Banacha.

Tw. 3: Przestrzenie $\ell _{p}(X)$ są refleksywne wtedy i tylko wtedy, gdy $p\in (1,\infty ).$

Tw. 4 (o izometrycznym izomorfizmie)

Niech $p\in [1,\infty ),$ niech $q$ będzie wykładnikem sprzężonym do $p.$ Istnieje wówczas izometryczny izomorfizm

${\big (}\ell _{p}(X){\big )}^{*}\cong \ell _{q}(X)$

wprowadzany przez standardowe parowanie

$\langle f,g\rangle =\sum _{i\in X}f(i)g(i),$

gdzie oraz $g\in \ell _{p}(X).$