Tensor, wielkość tensorowa – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora[a].

Definicja intuicyjna
Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość (tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Zbiór wszystkich tensorów wraz z odpowiednimi działaniami nazywamy przestrzenią tensorową. Przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych.

Tensory, podobnie jak wektory mogą być swobodne, zaczepione[potrzebny przypis] oraz można rozważać pola tensorowe, często nazywane w skrócie tensorami. Tensory w mniej ścisłym znaczeniu, które zmieniają się przy zmianie skali, bardziej ściśle nazywa się gęstościami tensorowymi.

Potocznie tensorami nazywa się tylko tensory drugiego rzędu. Obiektami podobnymi do wektorów i tensorów są spinory i tensory spinorowe. Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny[1].

Spis treści

CelEdytuj

Aby opisać jakąś przestrzeń geometryczną, np. czasoprzestrzeń fizyczną, wprowadza się w niej układ współrzędnych. Jednak definiowanie układu współrzędnych jest sztuczne – uważa się, że w rzeczywistości fizycznej twór taki nie występuje. Poza tym układy współrzędnych można zawsze wybierać na wiele sposobów. Ponadto zapis praw przyrody w jednym tylko układzie współrzędnych nie pozwala rozstrzygnąć, czy jakaś własność matematyczna jest cechą praw przyrody, czy tylko narzuca to wybór układu współrzędnych.

Dlatego wprowadza się matematyczne obiekty nazywane tensorami, które mają być niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych można tworzyć równania. Równanie takie nazywamy równaniem tensorowym lub tożsamością tensorową, jeżeli zachodzi ona zawsze, przy każdym wyborze układu współrzędnych.

Prawa fizyki powinny dać się zapisać jako równania tensorowe, tzn. wielkości fizyczne występujące w równaniach opisujących podstawowe prawa przyrody powinny mieć charakter tensorowy. Równania tak zapisane są niezmiennicze względem zmiany układu współrzędnych, tzn. mają taką samą postać przy zamianie współrzędnych z jednego układu na drugi. Przy tym żąda się, by rozważane transformacje miały bardzo ogólny charakter. Przykładem są równania szczególnej i ogólnej teorii względności (STW i OTW), które są niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza. Wybór konkretnego układu współrzędnych – konieczny do przeprowadzenia obliczeń – oznacza, że dokonuje się rzutowania tensorów na osie układu współrzędnych.

Np. w równaniu II zasady dynamiki Newtona występują wektory siły   i wektory pędu   (wektory są tensorami I rzędu):

 

W konkretnie wybranym układzie współrzędnych równanie to przyjmie postać układu trzech równań

 

gdzie   – współrzędne wektorów rzutowanych na osie wybranego układu współrzędnych. Równania Newtona są niezmiennicze ze względu na transformację Galileusza, która jest mniej ogólna, niż transformacja Lorentza. Dlatego wprowadzenie przez Einsteina wymogu, by prawa fizyki były niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza doprowadziło do bardziej uniwersalnego sformułowania praw przyrody, w postaci STW i OTW.

Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. W dodatku w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem  , natomiast   – przestrzenią do niej sprzężoną oraz niech   i   będą nieujemnymi liczbami całkowitymi. Rozważmy iloczyn kartezjański

 .

Każdą (p+q)-liniową funkcję[b]

 

nazywamy tensorem na   (typu   i rzędu  )  -krotnie kowariantnym i  -krotnie kontrawariantnym. Dla   mówi się o tensorze kontrawariantnym, a dla   o tensorze kowariantnym. Z definicji tensora wprost wynika, że elementy przestrzeni dualnej   to tensory typu  . Elementy przestrzeni   utożsamia się z tensorami typu  . Ponadto przyjmuje się, że tensory typu   to skalary (elementy ciała  ).

Przestrzeń tensorowaEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem  . Zbiór  [c] wszystkich tensorów typu   na   tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi punktowo:

  dla dowolnych   oraz  
  dla dowolnych  ,   oraz  

W przestrzeni tensorów można wprowadzić działanie dwuliniowe:   dane wzorem:  . Działanie to nazywa się iloczynem tensorowym i zwykle oznacza  [2].

Z definicji iloczynu tensorowego wynikają następujące własności[3]:

  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  

Iloczyn tensorowy nie jest przemienny, tzn. na ogół  [3].

Jeśli przestrzeń   jest skończenie wymiarowa oraz zbiór   jest jej bazą, to w przestrzeni sprzężonej można rozważać bazę sprzężoną do  , tzn. zbiór takich funkcjonałów liniowych   na przestrzeni  , że   gdy   oraz   w przeciwnym przypadku. Każdy tensor na przestrzeni   można wówczas przedstawić w postaci

 

dla pewnych skalarów  ,  . Istotnie:  . Ponadto tensory   są liniowo niezależne. Wynika stąd, że zbiór   jest bazą przestrzeni  . Gdy w przestrzeni   przechodzimy do innej bazy, to współrzędne tensorów (często nazywane składowymi) transformują się zgodnie z łatwymi do wyprowadzenia wzorami.

Współrzędne zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze). Pojedyncze równanie tensorowe staje się układem równań na współrzędnych. Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: współrzędne są zależne od układu współrzędnych, jednak równania na współrzędnych są niezależne, o ile są tylko wykonywane zgodnie z pewnymi regułami.

W literaturze fizycznej tensorami często nazywa się ich współrzędne  [4].

Iloczyn zewnętrznyEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem   i niech  . Niech   będzie zbiorem permutacji zbioru  . Mówimy, że tensor kowariantny   jest symetryczny, gdy dla dowolnej permutacji  :

 

oraz, że jest antysymetryczny, gdy dla dowolnej permutacji  

 [5].

W   można zdefiniować odwzorowanie   dane wzorem:

 ,

które nazywa się symetryzacją tensora  , oraz odwzorowanie   dane wzorem:

 ,

które nazywa się antysymetryzacją tensora  [6]. Symetryzacja   tensora   jest symetrycznym tensorem  -krotnie kowariantnym, natomiast antysymetryzacja   jest antysymetrycznym tensorem  -krotnie kowariantnym[6]. Ponadto jeżeli   jest tensorem symetrycznym, to  , jeśli zaś   jest tensorem antysymetrycznym, to  [7]. Ponieważ jedyną permutacją zbioru jednoelementowego jest identyczność i jej znak wynosi  , to tensor  -krotnie kowariantny jest jednocześnie symetryczny i antysymetryczny[7].

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie[8] mają antysymetryczne tensory kowariantne (por. formy różniczkowe). Zbiór wszystkich  -krotnie kowariantnych tensorów antysymetrycznych na przestrzeni liniowej   oznacza się  . Ponieważ wynikiem zwykłego iloczynu tensorowego tensorów antysymetrycznych może nie być tensor antysymetryczny, to wprowadza się całkowicie antysymetryczny iloczyn tensorowy, nazywany też iloczynem zewnętrznym lub alternującym[9]:  , dany wzorem:

 .

Zwykle przyjmuje się oznaczenie:  . Ponieważ   jest tensorem antysymetrycznym, to   również jest tensorem antysymetrycznym. Iloczyn zewnętrzny jest swego rodzaju poprawionym iloczynem tensorowym. Ma następujące własności[10]:

  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  
  •   dla  .

Typy tensorów i reprezentacjeEdytuj

Układy współrzędnych można w siebie przekształcać. Tensory są niezależne od układu współrzędnych, dlatego przekształcanie nie wpływa na nie, ale składowe tensorów przekształcają się wraz z układem współrzędnych. Przekształcenie składowych odbywa się według jakiejś reprezentacji grupy przekształceń układu współrzędnych. Tensory można poklasyfikować według reprezentacji, względem jakich transformują się ich składowe.

  • Skalary – wcale się nie transformują, albo inaczej mówiąc, transformują się według reprezentacji trywialnej
 
oznaczenia:  
  • Wektory, wektory kontrawariantne – transformują się względem reprezentacji odwrotnej do grupy przekształceń
 
oznaczenia:  
  • Kowektory, wektory kowariantne, jednoformy – transformują się względem reprezentacji zgodnej z grupą przekształceń
 
oznaczenia:  
  • Tensory drugiego rzędu podwójnie kontrawariantne – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym dwóch reprezentacji przeciwnych do grupy przekształceń
 
oznaczenia:  
  • Tensory drugiego rzędu podwójnie kowariantne, dwuformy – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym dwóch reprezentacji zgodnych z grupą przekształceń
 
oznaczenia:  
  • Tensory mieszane drugiego rzędu – transformują się względem reprezentacji będącej iloczynem prostym reprezentacji zgodnej z grupą przekształceń oraz odwrotnej
 
jeśli pierwszy jest indeks dolny, lub
 
jeśli pierwszy jest indeks górny;
oznaczenia:  
  • Tensory wyższych rzędów – transformują się względem iloczynów prostych odpowiedniej liczby macierzy zgodnych i odwrotnych względem grupy przekształceń, w odpowiedniej kolejności
 
oznaczenia:  
  • Pseudoskalary – zachowują się jak skalary, ale zmieniają znak podczas transformacji odbicia
 
oznaczenia: jak skalary
  • Pseudowektory, wektory osiowe, wektory aksjalne – zarówno kowariantne, jak i kontrawariantne; transformują się jak wektory, ale nie zmieniają znaku podczas transformacji odbicia (zwykłe wektory zmieniają)
  lub  
oznaczenia: jak odpowiednie wektory
  • Spinory – transformują się względem reprezentacji spinorowej grupy przekształceń, czasem pomnożonej przez zwykłe reprezentacje tensorowe
 
oznaczenia:  

DziałaniaEdytuj

Podobnie jak w przypadku przestrzeni liniowej, zaczynamy od wyboru jakiegoś ciała  ; najczęściej jest to ciało liczb zespolonych. Weźmy zbiór wszystkich funkcji, które każdemu punktowi przestrzeni przyporządkowują element ciała  . Funkcje takie nazywamy polami skalarnymi albo skalarami. Dodawanie, odejmowanie i mnożenie tych funkcji jest zdefiniowane w sposób naturalny.

W każdej przestrzeni tensorowej istnieje wiele typów tensorów. Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu.

  • Każdy skalar jest tensorem
  • Każdy tensor można pomnożyć przez skalar otrzymując tensor tego samego typu
  • Dwa tensory tego samego typu można dodać, otrzymując tensor tego samego typu
  • Dwa tensory tego samego typu można odjąć, otrzymując tensor tego samego typu
  • Dla dwóch tensorów dowolnych typów można obliczyć iloczyn zewnętrzny, otrzymując tensor innego typu
  • Tensor odpowiedniego typu można poddać kontrakcji, otrzymując tensor innego typu
  • Łącząc działania mnożenia zewnętrznego i kontrakcji można dla dwóch tensorów obliczyć iloczyn wewnętrzny otrzymując tensor innego typu; czasem również nazywa się to działanie kontrakcją
  • Odpowiedni (różniczkowalny) tensor (właściwie pole tensorowe) dowolnego typu można poddać różniczkowaniu otrzymując tensor innego typu zwany pochodną kowariantną tego tensora
  • Łącząc działania różniczkowania i kontrakcji na różne sposoby można zdefiniować działania dywergencji i rotacji
  • Tensor odpowiedniego typu można transponować, otrzymując tensor tego samego typu

Niektóre szczególne przypadki działań mają specjalne nazwy.

  • Pochodną kowariantną skalara nazywamy gradientem
  • Iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów nazywamy iloczynem skalarnym
  • Dodawanie tensora do jego transpozycji nazywamy symetryzacją
  • Odejmowanie tensora od jego transpozycji nazywamy antysymetryzacją
  • Kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu nazywa się obliczaniem śladu

Rząd tensoraEdytuj

 
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity w trzech wymiarach jako tablicy 3×3×3. (W czterech wymiarach jest to tablica 4×4×4×4 itd.)

Tensory można reprezentować jako tablice liczb. Ich wymiar nazywamy w tym wypadku rzędem tensora: wielkość skalarna to tensor rzędu zerowego – posiada tylko jedną składową; wektor jest tensorem rzędu pierwszego, czyli jednowymiarową tablicą i posiada w przestrzeni 3-wymiarowej trzy składowe. Tensory drugiego rzędu można zapisać jako macierze kwadratowe, np. tensor pola elektromagnetycznego, który ma rząd równy 2, w fizyce relatywistycznej reprezentowany jest przez macierz o wymiarze 4 na 4, czyli o 16 składowych (z czego 6 niezależnych). Rozważane są także tensory wyższych rzędów, czyli więcej wymiarowe tablice.

Obok tensorów o całkowitym rzędzie (wymienionych powyżej) rozważa się także wielkości zwane spinorami, których własności transformacyjne są bardziej złożone, jednak nadal określone poprawnie w ramach rachunku tensorowego. Wielkości te można uważać za tensory, jednak ich rząd należy określić jako ułamkowy.[potrzebny przypis] Jako przykład można podać funkcję falową elektronu czy dowolnego innego fermionu, której własności transformacyjne ze względu na działanie grupy obrotów są takie, że możemy mówić o niej jako o tensorze obdarzonym ułamkowym rzędem tensorowym[potrzebny przypis], np. w wypadku elektronu o rzędzie 1/2.

OznaczeniaEdytuj

Tensory oznacza się zwykle literami (dużymi i małymi, greckimi i łacińskimi), czasem z dodatkowymi akcentami, jak kreski, kropki i gwiazdki. Przy literach tych stoją rozmaite indeksy, których ilość, pozycja i alfabet zależą od typu tensora. Skalary nie mają żadnych indeksów. Najczęściej spotyka się następujące oznaczenia:

  • Indeksy kontrawariantne – małe litery greckie   itp. lub łacińskie   itp. stojące u góry, np.   (Takiego zapisu nie należy mylić z potęgowaniem.).
  • Indeksy kowariantne – małe litery greckie   itp. lub łacińskie   itp. stojące u dołu, np.  .
  • Indeksy spinorowe – małe litery łacińskie od   wzwyż (lub greckie od   wzwyż), stojące u góry lub u dołu, np.  .

Jeden tensor może mieć wiele indeksów:  .

Często kolejność indeksów jest nieistotna (tensor symetryczny) lub znana z kontekstu. Wtedy dla uproszczenia można zapisać:  .

Tensor drugiego rzędu zamiast zapisu z indeksami  , może być oznaczony daszkiem   lub podwójną strzałką   dla odróżnienia od skalarów i wektorów. Drugi zapis pozwala odróżnić je od operatorów w mechanice kwantowej.

Działania na tensorachEdytuj

Dodawanie oznacza się znakiem +; indeksy tensorów muszą się zgadzać

 

Odejmowanie oznacza się znakiem -; indeksy tensorów muszą się zgadzać

 

Mnożenie zewnętrzne oznacza się znakiem  , który można pominąć; indeksy tensorów nie mogą się powtarzać

 

Kontrakcja – zapisuje się przez powtórzenie tego samego indeksu u góry i u dołu, co prowadzi do utworzenia nowego tensora o rzędzie pomniejszonym o 2:

  (powtórzył się symbol  )
(przy tym dokonuje się sumowania po powtarzającym się indeksie – zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina)

Mnożenie wewnętrzne – to połączenie mnożenia zewnętrznego i kontrakcji

  (powtórzył się symbol  )

Istnieje podobieństwo zapisu kontrakcji i iloczynu wewnętrznego do konwencji sumacyjnej.

Różniczkowanie oznacza się na różne sposoby: albo przez zapis „operatorowy”:

 
 

albo „indeksowy” z użyciem przecinka lub średnika

 
 

Transpozycja – zapisuje się jako przestawienie indeksów tego samego typu:

 

ZastosowaniaEdytuj

1) W zastosowaniach inżynierskich, jeśli nie podaje się inaczej, rozważa się tensory zdefiniowane nad euklidesową przestrzenią wektorową położeń i rozpatruje się własności tensora podczas zmian układu współrzędnych związanych z obrotami.

2) W fizyce i innych dziedzinach rozważa się rozmaite typy i rodzaje przekształceń zdefiniowanych nad nietrywialnymi przestrzeniami liniowymi, np. funkcyjnymi, co powoduje, że rozważane tam tensory mają o wiele bardziej skomplikowaną naturę.

3) Matematyka bada własności tensorów niejako niezależnie od przestrzeni, nad którą one działają.

Tensory w fizyceEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Wektora w sensie „szkolnym”. W algebrze liniowej wektor to element dowolnej przestrzeni liniowej, w tym sensie tensor jest szczególnym przypadkiem wektora.
  2. Definicję tensora można nieco uogólnić, zastępując przestrzeń liniową nad ciałem modułem nad algebrą przemienną.
  3. Niektórzy autorzy (np. W. Thirring) zamieniają miejscami indeksy w tym oznaczeniu.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • L. Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 2012.
  • J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. T. III. Cz. 2. Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006.
  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
  • W. Thirring: Fizyka matematyczna. T. 1: Klasyczne układy dynamiczne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985.
  • W. Thirring: Fizyka matematyczna. T. 2: Klasyczna teoria pola. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985.

Linki zewnętrzneEdytuj

  • Alessandra Iozzi, Multilinear Algebra and Applications (pdf) (ang.) (ETH Zürich)