Otwórz menu główne

Tensor – obiekt matematyczny będący uogólnieniem pojęcia wektora[a]. Zbiór wszystkich tensorów wraz z działaniami dodawania i mnożenia przez skalar nazywa się przestrzenią tensorową. Tensory, podobnie jak wektory, mogą być swobodne i zaczepione. Rozważa się pola tensorowe (nazywane w skrócie tensorami). Tensory, które zmieniają się przy zmianie skali, ściśle nazywa się gęstościami tensorowymi.

Definicja intuicyjna
Tensor – uogólnienie pojęcia wektora; wielkość (tablica liczb), której własności pozostają identyczne niezależnie od wybranego układu współrzędnych.

Obiektami podobnymi do tensorów są tensory spinorowe (np. spinory są analogami wektorów). Uogólnieniem tensorów i tensorów spinorowych jest tzw. obiekt geometryczny[1].

Spis treści

CelEdytuj

 
Tensor naprężeń Cauchy, tensor 2-go rzędu. Składowe tensora w układzie kartezjańskim 3-wymiarowym tworzą macierz   której kolumny są naprężeniami (naprężenie=iloraz siły przez powierzchnię) działającymi na ściany e1, e2 oraz e3 sześcianu.

(1) Aby opisać przestrzeń geometryczną (np. przestrzeń 3-wymiarową, czasoprzestrzeń), wprowadza się w niej zazwyczaj układ współrzędnych. Jednak wydaje się, że w rzeczywistości fizycznej twór taki nie występuje. Ponadto: układy współrzędnych można wybierać na wiele sposobów, zaś zapis praw przyrody w jednym tylko układzie nie pozwala rozstrzygnąć, czy jakaś własność matematyczna jest cechą praw przyrody, czy tylko narzuca to wybór układu współrzędnych.

Dlatego wprowadza się tensory – obiekty matematyczne, geometryczne, które mają własności niezależne od wyboru układu współrzędnych. Z wyrażeń tensorowych tworzy się równania, zwane równaniami tensorowymi lub tożsamościami tensorowymi. Równanie takie słuszne w jednym układzie będzie słuszne w dowolnym układzie współrzędnych.

(2) Z tego względu np. prawa fizyki powinny dać się zapisać jako równania tensorowe, tzn. wielkości fizyczne występujące w równaniach opisujących podstawowe prawa przyrody powinny być tensorami (skalarami, wektorami, tensorami wyższych rzędów).

Równania tensorowe powinny być niezmiennicze względem zmiany układu współrzędnych, tzn. symbole wielkości tensorowych powinny być powiązane ze sobą w identyczny sposób przy transformacji z jednego układu współrzędnych do innego. Przy tym żąda się, by rozważane transformacje miały bardzo ogólny charakter. Np. równania szczególnej i ogólnej teorii względności (STW i OTW) są równaniami tensorowymi niezmienniczymi ze względu na transformację Lorentza.

Wybór konkretnego układu współrzędnych pozwala na rzutowanie tensorów na osie układu współrzędnych – w ten sposób dostaje się współrzędne tensorów będące liczbami (lub funkcjami zależnymi od punktów przestrzeni), co umożliwia przeprowadzenie obliczeń.

(3) Równania Newtona, będące podstawą fizyki klasycznej, mają charakter równań tensorowych – występują w nich wektory, a równania są niezmiennicze ze względu na transformację Galileusza. Np. w równaniu II zasady dynamiki Newtona występują wektor siły   i wektor pędu   (wektory są tensorami I rzędu):

 

W konkretnie wybranym układzie współrzędnych równanie to przyjmie postać układu trzech równań

 

gdzie   – współrzędne wektorów rzutowanych na osie wybranego układu współrzędnych.

(4) Transformacja Galileusza jest mniej ogólna niż transformacja Lorentza. Wprowadzenie przez Einsteina wymogu, by prawa fizyki były niezmiennicze ze względu na transformację Lorentza doprowadziło do bardziej uniwersalnego sformułowania praw przyrody, w postaci STW i OTW.

(5) Rachunek wektorowy był przez długi czas dla matematyków wystarczający, ponieważ rozważano tylko jeden układ współrzędnych: ortonormalny układ kartezjański. Z czasem zaszła potrzeba rozważania innych układów, np. kartezjańskich ukośnokątnych lub krzywoliniowych. Także w obrębie zainteresowań matematyków pojawiły się przestrzenie zakrzywione, w których nie da się zdefiniować prostoliniowego układu współrzędnych. Dlatego konieczne stało się używanie rachunku tensorowego.

Parametryzacja przestrzeni – przyjęcie układu współrzędnychEdytuj

Parametryzacja przestrzeni poprzez przyjęcie układu współrzędnych z kanonicznie zdefiniowaną bazą i kobazą wektorów stanowi niezbędny element definicji tensorów.

(1) Niech będzie dana przestrzeń Euklidesa – rozważymy tu dla prostoty przestrzeń trójwymiarową (uogólnienie na przestrzenie euklidesowe dowolnego wymiaru będzie wymagać jedynie zwiększenia zakresu sumowań w podanych wzorach).

(2) W przestrzeni Euklidesa zawsze można zdefiniować kartezjański układ współrzędnych – tzw. bazowy układ współrzędnych, tak że każdy punkt przestrzeni określony jest przez trójkę liczb   zwanych współrzędnymi tego punktu; wektor wodzący punktu ma postać

 

gdzie:

  – wektory lokalnej bazy układu współrzędnych kartezjańskich; wektory te są ortogonalne i unormowane do 1

(3) W przestrzeni wprowadzamy drugi dowolny krzywoliniowy układ współrzędnych   zdefiniowany względem układu współrzędnych kartezjańskich   zadany za pomocą funkcji

 

lub

 

(4) Przekształcenie musi być jednoznaczne, dlatego jakobian przekształcenia musi być różny od zera w całym obszarze, gdzie chce się wprowadzić współrzędne krzywoliniowe

 

(5) Bazę układu   tworzą wektory styczne do linii układu współrzędnych

 

Podstawiając

 

otrzymamy wyrażenie na wektory styczne do linii współrzędnych w układzie krzywoliniowym, wyrażone w bazie układu kartezjańskiego

 

przy czym należy pamiętać, że w powyższym wzorze obowiązuje sumowanie po powtarzającym się wskaźniku  

Z powyższego widać, że:

Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na bazę układu krzywoliniowego poprzez macierz
 
(tj. równą macierzy transformacji nowych współrzędnych w stare)

(6) Kobazę układu współrzędnych (bazę sprężoną do  ) tworzą wektory prostopadłe do płaszczyzn wyznaczonych przez pary wektorów bazowych  

 

Z powyższego widać, że:

Wektory bazy kartezjańskiej transformują się na kobazę układu krzywoliniowego poprzez macierz  

(7) Z powyższego widać, że

Macierze transformacji bazy kartezjańskiej w wektory bazy i kobazy są wzajemnie odwrotne, tj.
 

(8) Zależności między wektorami bazy i kobazy

 
 
 
oraz
 
gdzie
 delta Kroneckera

Definicja tensorówEdytuj

Tensor 0-go rzędu, czyli pole skalarne (funkcja skalarna)Edytuj

 
– nie zmienia wartości przy przejściu do innego układu współrzędnych

Tensor 1-go rzędu, czyli pole wektoroweEdytuj

Jedna z możliwych definicji tensora opiera się na obserwacji, iż współrzędne wektorów wykazują szczególne własności transformacyjne przy przejściu do bazy innego układu współrzędnych. Poniżej pokażemy te właściwości transformacyjne.

(1) Wektor jest obiektem geometrycznym, dlatego nie zależy od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Stąd prawdziwe muszą być poniższe równości

 

(2) Ponieważ   to zachodzi odwrotna zależność

 

(3) Podstawiając powyższe wyrażenie do pierwszej równości otrzyma się

 

(4) Oznacza to, że współrzędne wektora kontrawariantnego określone w układzie   przy przejściu do innego układu   transformują się w tak że:

Nowe współrzędne wektora zależą od starych współrzędnych poprzez macierz transformacji   tj.
 

(5) Powyższą własność dotyczącą transformacji współrzędnych wektora uogólnia się, co stanowi podstawę jednej z możliwych definicji tensora.

Tensor 2-go rzędu otrzymany z iloczynu dwóch wektorówEdytuj

Tensor 2-go rzędu można otrzymać np. z iloczynu tensorowego dwóch wektorów.

(1) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kontrawariantnej daje tensor kontrawariantny 2-go rzędu, gdyż

 
gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy
  – współrzędne kontrawariantne tensora

(2) Iloczyn dwóch wektorów w postaci kowariantnej daje tensor kowariantny, gdyż

 
gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy
  – współrzędne kowariantne tensora

(3) Iloczyn wektora w postaci kowariantnej z wektorem w postaci kontrawariantnej daje tensor mieszany, gdyż

 
gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów kobazy i bazy
  – współrzędne kowariantno-kontrawariantne tensora

(4) Iloczyn wektora w postaci kontrawariantnej z wektorem w postaci kowariantnej daje tensor mieszany, gdyż

 
gdzie
  – iloczyny tensorowe (zewnętrzne) wektorów bazy i kobazy
  – współrzędne kontrawariantno-kowariantne tensora

(5) Z powyższego widać, że tensor 2-go rzędu ma współrzędne różnego typu w zależności od tego, w jakiej bazie jest wyrażony. Ponieważ jednak tensor jest obiektem geometrycznym, to nie zależy od bazy, w jakiej jest wyrażany, dlatego dla dowolnego tensora słuszne są zależności

 

Transformacja współrzędnych tensora 2-go rzęduEdytuj

(1) Dany jest tensor w bazie wektorów  

 
gdzie
 - współrzędne tensora

(2) Tensor ten w bazie wektorów   ma postać

 
gdzie
  – współrzędne tensora

Z porównania (1) (2) oraz podstawienia zależności     wynikają związki transformacyjne współrzędnych tensora

 

Transformacja współrzędnych tensora dowolnego rzęduEdytuj

Podobnie otrzymuje się wzory transformacyjne dla innych tensorów, np.

 

Przykład: Tensor utworzony z iloczynu tensorowego wektorówEdytuj

Założenia:

  •  - wektory bazy przestrzeni euklidesowej   3-wymiarowej
  •   – wektory bazy (tzw. kobazy) przestrzeni dualnej  
  •   – wektor kontrawariantny (należący do  )
  •   – wektor kowariantny (należący do  )

Z wektorów   można utworzyć tensor   za pomocą mnożenia tensorowego, tj.

 

gdzie:

 iloczyny tensorowe wektorów bazowych

Aby jawnie pokazać, co wyrażają powyższe iloczyny tensorowe przyjmijmy reprezentację (kanoniczną) wektorów bazy w postaci wektorów wierszowych, a kobazy w postaci wektorów kolumnowych

 
 

Wtedy

 

Tensor

 

jest więc kombinacją liniową wszystkich par wektorów bazowych mnożonych wektorow; tensor ten ma w podanej reprezentacji przedstawienie w postaci macierzy 3 × 3:

 

przy czym wielkości

 

nazywa się współrzędnymi   tensora; iloczyny tensorowe   które w podanej reprezentacji są macierzami 3 × 3 o jednym elemencie niezerowym, stanowią bazę przestrzeni tensorowej tensorów typu   rozpiętych nad 3-wymiarową przestrzenią euklidesową   Przestrzeń tensorowa tego typu tensorów jest więc  -wymiarowa.

Uwagi:

(1) Gdyby przestrzeń euklidesowa była  -wymiarowa, to tensory typu   (o dwóch indeksach) tworzyłyby przestrzeń tensorową  -wymiarową.

(2) Gdyby przestrzeń euklidesowa była  -wymiarowa, to tensory mające   indeksów tworzyłyby przestrzeń tensorową  -wymiarową. Np. tensory   mające   indeksów na przestrzeni  -wymiarowej tworzyłyby przestrzeń tensorową   wymiarową (!).

Definicja tensora za pomocą funkcji wieloliniowejEdytuj

(Uwaga: Poniższa definicja jest mało intuicyjna przy pierwszym zetknięciu się z pojęciem tensora).

Jeżeli

  •   jest przestrzenią liniową wymiaru N nad ciałem  [b]
  •   jest przestrzenią do niej sprzężoną
  •   i   są nieujemnymi liczbami całkowitymi
  • dany jest iloczyn kartezjański
 

to tensorem nazywamy dowolną funkcję (p+q)-liniową

 

przy tym

(1) wektory przestrzeni   utożsamia się z tensorami typu   tj. traktuje jako wektory o górnych wskaźnikach (wektory kontrawariantne)

(2) wektory przestrzeni dualnej   (tj. przestrzeni rozpiętej na bazie dualnej do bazy przestrzeni  ) – to tensory typu   czyli wektory o dolnych wskaźnikach (wektory kowariantne)

(3) przyjmuje się, że tensory typu   to skalary (elementy ciała  )

Definicja rzędu, typu tensoraEdytuj

Mówimy, że tensor   jest

  • typu  
  • rzędu  
  •  -krotnie kontrawariantny i  -krotnie kowariantny
  • kontrawariantny – jeżeli ma tylko górne wskaźniki  
  • kowariantny – jeżeli ma tylko dolne wskaźniki  

Przestrzeń tensorowaEdytuj

Definicja dodawania tensorów i mnożenia przez liczbęEdytuj

Niech   będzie przestrzenią liniową nad ciałem  

(1) Sumą tensorów   nazywa się tensor   taki że wartość jego działania na dowolnych   wektorów przestrzeni   oraz dowolnych   wektorów przestrzeni   jest równa sumie działań każdego z tensorów   z osobna na tych wektorach, tj.

 

(2) Iloczynem tensora   przez liczbę   należącą do ciała   nazywa się tensor   taki że wartość jego działania na dowolnych   wektorów przestrzeni   oraz dowolnych   wektorów przestrzeni   jest równa iloczynowi liczby   przez wynik działania tensora   na tych wektorach, tj.

 

Uwagi:

(1) Tensor utworzony z dodawania tensorów   oznacza się symbolem   Z definicji wynika, że jest to tensor tego samego rzędu, co tensory dodawane, a więc należy do tej samej przestrzeni tensorowej nad przestrzenią  

(2) Tensor utworzony z mnożenia tensora   przez liczbę   oznacza się symbolem   Z definicji wynika, że jest to tensor tego samego rzędu, co tensor   a więc należy do tej samej przestrzeni tensorowej nad przestrzenią  

Twierdzenie (o przestrzeni liniowej tensorów)Edytuj

Zbiór wszystkich tensorów typu   określonych na przestrzeni   z działaniami dodawania tensorów i mnożenia przez liczbę   należącą do ciała   tworzy przestrzeń liniową.

Definicja przestrzeni tensorowejEdytuj

Przestrzenią tensorową nazywa się przestrzeń liniową utworzoną z tensorów typu   na przestrzeni   i oznacza się symbolem  [c]

Wymiar przestrzeni tensorowejEdytuj

Przestrzeń tensorowa   tensorów o   indeksach górnych oraz   indeksach dolnych, utworzona nad przestrzenią liniową   o wymiarze   ma wymiar  

Np. Przestrzeń tensorowa   zawierająca tensory postaci   (np.  ) nad przestrzenią   ma wymiar   (por. Przykład)

Baza przestrzeni tensorowej. Reprezentacja tensora w bazieEdytuj

Jeżeli

  • przestrzeń   jest przestrzenią skończenie wymiarową
  •   – wymiar przestrzeni  
  • zbiór   baza przestrzeni  

to

  • w przestrzeni sprzężonej   można utworzyć bazę sprzężoną (kobazę) do   złożoną z funkcjonałów liniowych   na przestrzeni   takich że:
    •   gdy  
    •   w przeciwnym przypadku
  • tensory utworzone za pomocą mnożenia tensorowego   wektorów bazy oraz   wektorów kobazy
       
    są liniowo niezależne (por. Przykład), co oznacza, że zbiór tych tensorów
       
    jest bazą przestrzeni tensorowej  
  • każdy tensor na przestrzeni   można przedstawić w tej bazie w postaci
 
gdzie:
 
współrzędne (składowe) tensora w bazie

Uwagi:

1) Tensorami często nazywa się po prostu ich współrzędne  [2].

2) Wymiar przestrzeni tensorowej   wynosi   gdzie   – wymiar przestrzeni  

Iloczyn tensorowy (zewnętrzny) tensorówEdytuj

DefinicjaEdytuj

Iloczynem tensorowym (zewnętrznym) nazywa się działanie dwuliniowe, które dwóm tensorom o typach   oraz   przypisuje tensor o typie  

 

taki, że jest on zbiorem wszystkich iloczynów składowych przemnażanych tensorów, tj.

 

Np. tensor utworzony z iloczynu dwóch wektorów – kontrawariantnego i kowariantnego,   wyrażony bazie przestrzeni liniowej i kobazie przestrzeni dualnej ma postać sumy 9 składników:

 

(por. Przykład, gdzie pokazano dokładnie mnożenie tensorowe tensorów).

TwierdzeniaEdytuj

Z definicji iloczynu tensorowego wynikają następujące twierdzenia[3]:

Tw. 1

Jeżeli   to

 

Tw. 2

Jeżeli   to

 

Tw. 3

Jeżeli  

 

Tw. 4

Jeżeli   to

 

Tw. 5

Iloczyn tensorowy nie jest przemienny, tzn. na ogół

 [3].

Transformacje współrzędnychEdytuj

Gdy w przestrzeni   przechodzimy z danej bazy do, to współrzędne tensorów transformują się zgodnie z dwiema regułami:

(1) składowe kowariantne wektorów, tensorów 2-go rzędu itd. transformują poprzez macierz identyczną z macierzą transformacji bazy układu kartezjańskiego do bazy układu krzywoliniowego (mówi się, że składowe kowariantne transformują się współzmienniczo lub kowariantnie z wektorami bazy)

(2) składowe kontrawariantne wektorów, tensorów transformują się poprzez macierz odwrotną (transformują się przeciwzmienniczo lub kontrawariantnie)

Współrzędne zwykle grupuje się w wielowymiarowe tabelki (macierze).

Pojedyncze równanie tensorowe rozpisane na składowe przechodzi w układ równań wiążących współrzędne tensorów.

Pojawia się tutaj główna zaleta rachunku tensorowego: współrzędne są zależne od układu współrzędnych, jednak równania wiążące współrzędne są niezależne od układu, tj. w każdym układzie mają taką samą postać, przy założeniu, że transformacje między układami są wykonywane z ustalonymi regułami (np. transformacje Lorentza wiążą układy poruszające się względem siebie).

Definicja tensorów symetrycznych i antysymetrycznychEdytuj

Jeżeli

  •   jest przestrzenią liniową nad ciałem  
  •  
  •   będzie zbiorem permutacji zbioru  

to

  • tensor kowariantny   nazywa się symetrycznym, gdy dla dowolnej permutacji  :
 
  • tensor kowariantny   nazywa się antysymetryczny, gdy dla dowolnej permutacji  
 [4].

Symetryzacja i antysymetryzacja tensoraEdytuj

Definicja symetryzacjiEdytuj

Symetryzacją tensora   nazywa się odwzorowanie   dane wzorem:

 

Definicja antysymetryzacjiEdytuj

Antysymetryzacją tensora  [5] nazywa się odwzorowanie   dane wzorem:

 

TwierdzeniaEdytuj

Tw. 1 Symetryzacja   tensora   jest symetrycznym tensorem  -krotnie kowariantnym.

Tw. 2 Antysymetryzacja   tensora   jest antysymetrycznym tensorem  -krotnie kowariantnym[5].

Tw. 3 Jeżeli   jest tensorem symetrycznym, to  

Tw. 4 Jeżeli   jest tensorem antysymetrycznym, to  [6].

Tw. 5 Tensor  -krotnie kowariantny jest jednocześnie symetryczny i antysymetryczny

Dowód: Jedyną permutacją zbioru jednoelementowego jest identyczność i jej znak wynosi  [6].

Całkowicie antysymetryczny iloczyn tensorowyEdytuj

W matematyce i fizyce szczególne znaczenie[7] mają antysymetryczne tensory kowariantne (por. formy różniczkowe). Ponieważ wynikiem zwykłego iloczynu tensorowego tensorów antysymetrycznych może nie być tensor antysymetryczny, to wprowadza się iloczyn zewnętrzny, który jest swego rodzaju poprawionym iloczynem tensorowym.

Oznaczenie:   – zbiór wszystkich  -krotnie kowariantnych tensorów antysymetrycznych na przestrzeni liniowej  

DefinicjaEdytuj

Całkowicie antysymetrycznym iloczynem tensorowym (iloczynem zewnętrznym lub alternującym) nazywa się tensor   taki że[8]

 
oraz
 

Oznaczenie: Zazwyczaj pisze się

 

Twierdzenia o iloczynie zewnętrznymEdytuj

Słuszne są twierdzenia[9]

Tw. 1

Ponieważ   jest tensorem antysymetrycznym, to   również jest tensorem antysymetrycznym.

Tw. 2

Jeżeli   to

 

Tw. 3

Jeżeli   to

 

Tw. 4

Jeżeli   to

 

Tw. 5

Jeżeli   to

 

Tw. 6

Jeżeli   to

 

Własności transformacyjne tensorówEdytuj

Tensorami nazywa się zespoły wielkości, które transformują się w ściśle określony sposób podczas przejścia do innego układu współrzędnych, przy czym w zależności np. od teorii fizycznej zakłada się, jakie rodzaje transformacji należy brać pod uwagę. Wszystkie wymagane transformacje tworzą przy tym grupy algebraiczne transformacji.

W szczególności

(1) fizyka klasyczna zakłada, że wymagane transformacje należą do grupy Galileusza

(2) fizyka relatywistyczna, w tym szczególna i ogólna teorie względności, relatywistyczna mechanika kwantowa, zakładają, że wymagane transformacje należą do grupy Poincarégo (której podgrupę stanowi grupa Lorentza).

W ramach obu tych grup transformacji zawierają się: obrót, translacja, inwersja w przestrzeni, inwersja w czasie. Jednak transformacje relatywistyczne różnią się od klasycznej właściwą transformacja Lorentza, która miesza współrzędne czasowe z przestrzennymi, co sprawia, że radykalnie zmienia się obraz rzeczywistości: czas i przestrzeń nie są już oddzielne, ale mogą przekształcać się w siebie, geometria z euklidesowej staje się geometrią nieeuklidesową.

Składowe tensorów podczas transformacji układu współrzędnych na ogół zmieniają się. Istnieją jednak tzw. niezmienniki tensorów: są to wielkości, które nie zmieniają się mimo transformacji układu współrzędnych. Przy tym niezmienniki zależą od grupy transformacji, jakiej poddaje się tensory. To sprawia, że niezmienniki stanowią podstawę klasyfikacji tensorów.

Dany zespół wielkości może być tensorem względem jednej grupy transformacji, ale nie będzie tensorem względem innej grupy transformacji.

Oznaczenia:

  – macierz elementu grupy transformacji układu współrzędnych
  – macierz transformacji współrzędnych tensorów wyrażona za pomocą macierzy  
  • Skalary, np.   – wcale się nie transformują, albo inaczej mówiąc, transformują się według reprezentacji trywialnej (macierz tej transformacji jest macierzą jednostkową  )
 
  • Wektory kontrawariantne, np.   – transformują się według macierzy odwrotnej do macierzy  
 
  • Wektory kowariantne, jednoformy, np.   – transformują się według macierzy  
 
  • Tensory drugiego rzędu podwójnie kontrawariantne, np.   – transformują się według macierzy będącej iloczynem dwóch macierzy odwrotnych do macierzy  
 
  • Tensory drugiego rzędu podwójnie kowariantne, dwuformy, np.   – transformują się według macierzy będącej iloczynem dwóch macierzy  
 
  • Tensory mieszane drugiego rzędu – transformują się według macierzy będącej iloczynem macierzy   i macierzy do niej odwrotnej; przy tym jeśli pierwszy jest indeks dolny, np.   to
 
zaś
 
jeśli pierwszy jest indeks górny, np.  
  • Tensory wyższych rzędów – transformują się względem iloczynów prostych odpowiedniej liczby macierzy zgodnych i odwrotnych do macierzy  , w kolejności odpowiadającej kolejności indeksów kowariantnych i kontrawariantnych, np. dla tensora   macierz transformacji współrzędnych ma postać
 
  • Pseudoskalary – zachowują się jak skalary, ale zmieniają znak podczas odbicia
 
Oznaczenia: jak skalary
  • Pseudowektory, wektory osiowe, wektory aksjalne – kowariantne / kontrawariantne – transformują się jak wektory kowariantne / kontrawariantne, ale nie zmieniają znaku podczas odbicia (zwykłe wektory zmieniają)
 
lub
 
Oznaczenia: jak wektory kowariantne / kontrawariantne
  • Spinory – transformują się względem reprezentacji spinorowej grupy przekształceń, czasem pomnożonej przez zwykłe reprezentacje tensorowe
 
Oznaczenia:  

Reprezentacje tensora za pomocą tablic współrzędnychEdytuj

 
Wizualizacja symbolu Leviego-Civity w trzech wymiarach jako tablicy 3×3×3. (W czterech wymiarach jest to tablica 4×4×4×4 itd.)

Tensory można reprezentować jako tablice liczb, które mają wymiar równy rzędowi tensora:

(1) tensor 0-go rzędu to skalar: posiada tylko jedną składową (jest pojedynczą liczbą)

(2) tensor 1-go rzędu to wektor; reprezentuje go w układzie współrzędnych jednowymiarowa tablica; w przestrzeni 3-wymiarowej posiada trzy składowe

(3) tensor 2-go rzędu: jego współrzędne zapisuje się w postaci macierzy kwadratowej; np. tensor pola elektromagnetycznego (w fizyce relatywistycznej reprezentowany przez macierz o 4 na 4, czyli o 16 składowych)

(4) tensor n-tego rzędu: jego współrzędne reprezentuje tablica n-wymiarowa

Oznaczenia tensorówEdytuj

Tensory oznacza się zwykle literami (dużymi i małymi, greckimi i łacińskimi), czasem z dodatkowymi akcentami, jak kreski, kropki i gwiazdki. Przy literach tych stoją rozmaite indeksy, których ilość, pozycja i alfabet zależą od typu tensora. Skalary nie mają żadnych indeksów. Najczęściej spotyka się następujące oznaczenia:

  • Indeksy kontrawariantne – małe litery greckie   itp. lub łacińskie   itp. stojące u góry, np.   (Takiego zapisu nie należy mylić z potęgowaniem.).
  • Indeksy kowariantne – małe litery greckie   itp. lub łacińskie   itp. stojące u dołu, np.  
  • Indeksy spinorowe – małe litery łacińskie od   wzwyż (lub greckie od   wzwyż), stojące u góry lub u dołu, np.  

Jeden tensor może mieć wiele indeksów:  

Często kolejność indeksów jest nieistotna (tensor symetryczny) lub znana z kontekstu. Wtedy dla uproszczenia można zapisać:  

Tensor drugiego rzędu zamiast zapisu z indeksami   może być oznaczony daszkiem   lub podwójną strzałką   dla odróżnienia od skalarów i wektorów. Drugi zapis pozwala odróżnić je od operatorów w mechanice kwantowej.

Działania na tensorachEdytuj

Dodawanie oznacza się znakiem +; indeksy tensorów muszą się zgadzać

 

Odejmowanie oznacza się znakiem -; indeksy tensorów muszą się zgadzać

 

Mnożenie zewnętrzne (tensorowe) tensorów oznacza się znakiem   który można pominąć; indeksy tensorów nie mogą się powtarzać

 

Kontrakcja tensora – zapisuje się przez powtórzenie tego samego indeksu u góry i u dołu, co prowadzi do utworzenia nowego tensora o rzędzie pomniejszonym o 2:

  (powtórzył się symbol  )
(przy tym dokonuje się sumowania po powtarzającym się indeksie – zgodnie z konwencją sumacyjną Einsteina)

Mnożenie wewnętrzne tensorów – to kontrakcja iloczynu zewnętrznego dwóch tensorów

  (powtórzył się symbol  )

Istnieje podobieństwo zapisu kontrakcji i iloczynu wewnętrznego do konwencji sumacyjnej.

Różniczkowanie tensora oznacza się na różne sposoby: albo przez zapis „operatorowy”:

 
 

albo „indeksowy” z użyciem przecinka lub średnika

 
 

Transpozycja – przestawienie indeksów tego samego typu:

 

cd. Działania na tensorachEdytuj

  • Przyrównywać do siebie można tylko tensory tego samego typu
  • Mnożenie tensora przez skalar daje tensor tego samego typu
  • Iloczyn zewnętrzny (iloczyn tensorowy) dwóch tensorów dowolnych typów daje tensor mający rząd równy sumie rzędów mnożonych tensorów
  • Iloczyn wewnętrzny (kontrakcja) to połączenie działania mnożenia zewnętrznego dwóch tensorów i kontrakcja – daje tensor innego typu
  • Pochodna kowariantna tensora daje tensor innego typu
  • Łącząc działania różniczkowania i kontrakcji na różne sposoby można zdefiniować działania dywergencji i rotacji

Definicje działań:

  • Gradient to pochodna kowariantna skalara
  • Iloczyn skalarny to iloczyn wewnętrzny dwóch wektorów
  • Transponowanie tensora odpowiedniego typu daje tensor tego samego typu
  • Symetryzacja to dodawanie tensora do jego transpozycji
  • Antysymetryzacja to odejmowanie tensora od jego transpozycji
  • Obliczanie śladu to kontrakcja tensora mieszanego drugiego rzędu.

Twierdzenie o rozkładzie na sumy prosteEdytuj

Tw. Każda przestrzeń tensorowa jest sumą prostą przeliczalnej liczby przestrzeni liniowych

ZastosowaniaEdytuj

(1) W zastosowaniach inżynierskich zazwyczaj tensory są zdefiniowane nad euklidesową przestrzenią wektorową położeń i rozpatruje się własności tensora podczas zmian układu współrzędnych związanych z obrotami.

(2) Matematyka i fizyka wskazują na własności tensorów niezależne od układu współrzędnych, definiują specyficzne przekształcenia nad abstrakcyjnymi przestrzeniami liniowymi, np. funkcyjnymi – wtedy tensory mają bardziej skomplikowaną naturę.

Tensory w fizyceEdytuj

SpinoryEdytuj

Obok tensorów o całkowitym rzędzie rozważa się spinory, których własności transformacyjne są bardziej złożone, jednak nadal określone poprawnie w ramach rachunku tensorowego. Spinory można uważać za tensory mające ułamkowy rząd. Np. 4-składnikowa funkcja falowa fermionu Diraca poddana działaniu transformacji należącej do grupy obrotów zmienia się tak, że można ją traktować jako tensor o ułamkowym rzędzie, np. w wypadku elektronu o rzędzie 1/2.

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Wektora w sensie „szkolnym”. W algebrze liniowej wektor to element dowolnej przestrzeni liniowej, w tym sensie tensor jest szczególnym przypadkiem wektora.
  2. Definicję tensora można nieco uogólnić, zastępując przestrzeń liniową nad ciałem modułem nad algebrą przemienną.
  3. Niektórzy autorzy (np. W. Thirring) zamieniają miejscami indeksy w tym oznaczeniu.

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • L. Górniewicz, R.S. Ingarden: Analiza matematyczna dla fizyków. Wydawnictwo naukowe Uniwersytetu Mikołaja Kopernika, 2012.
  • J. Musielak, L. Skrzypczak: Analiza matematyczna. T. III. Cz. 2. Wydawnictwo Naukowe UAM, 2006.
  • P.K. Raszewski: Geometria Riemanna i analiza tensorowa. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1958.
  • W. Thirring: Fizyka matematyczna. T. 1: Klasyczne układy dynamiczne. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985.
  • W. Thirring: Fizyka matematyczna. T. 2: Klasyczna teoria pola. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1985.

Linki zewnętrzneEdytuj