Otwórz menu główne

Tensor energii-pędu (zwany też tensorem napięć-energii) – tensor drugiego rzędu, który w ogólnej teorii względności wchodzi w skład równań Einsteina i pełni rolę źródła zakrzywienia czasoprzestrzeni odczuwanego jako grawitacja.

Spis treści

DefinicjaEdytuj

W szczególnej i ogólnej teorii względności przyjmuje się następujące indeksowanie składowych tensora napięć-energii:

  – indeks czasowy,
  – indeksy przestrzenne.

DefinicjaEdytuj

Składowa   tensora napięć-energii jest równa składowej   strumienia wektora czteropędu przepływającego przez hiperpowierzchnię o stałej współrzędnej   w czasoprzestrzeni.

Własność symetriiEdytuj

Tensor napięć-energii w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma wymiary 4x4. Tensor napięć-energii jest w teorii względności symetryczny, tj.[1]

 

W teoriach alternatywnych, jak np. teoria Einsteina-Cartana tensor napięć-energii może nie być dokładnie symetryczny. W takich teoriach nie obowiązuje np. zasada zachowania spinu, choć obowiązuje zasada zachowania momentu pędu – spin może zamieniać się w orbitalny moment pędu i na odwrót. Przy symetrycznym tensorze napięć-energii spin i orbitalny moment pędu są zachowane.

PrzykładEdytuj

Jeżeli mamy strumień cząstek w przestrzeni, to aby obliczyć składową   w danym punkcie oblicza się sumę składowych   czterowektora pędu cząstek, które przechodzą przez mały element hiperpowierzchni prostopadłej do wektora bazowego odpowiadającego wymiarowi   i dzieli przez wielkość tej hiperpowierzchni.

Sens fizyczny składowych tensora napięć-energiiEdytuj

(1) Składowa   tensora napięć-energii jest równa gęstości masy/energii w pobliżu danego punktu (np. łączna masa cząstek w danym obszarze dzielona przez objętość tego obszaru).

(2) Składowe   oraz   gdzie   to gęstość pędu w pobliżu danego punktu (łączna wartość pędu w danym obszarze, dzielona przez objętość tego obszaru).

(3) Składowe   gdzie   tworzą tensor napięć (pojęcie analogiczne do tensora napięć znanego w technice):

a) składowe diagonalne tego tensora to ciśnienie,

b) składowe pozadiagonalne to tzw. napięcie (albo naprężenie).

Postać macierzowa tensora napięć-energiiEdytuj

Tensor napięć-energii jest tensorem drugiego rzędu, dlatego jego składowe można przedstawić w postaci macierzy 4 × 4:[2]

 

lub też, identyfikując odpowiednie składowe z wielkościami fizycznymi

 

gdzie:

  – gęstość energii,
  – składowe gęstości pędu,
  – ciśnienia,
  – naprężenia ścinające.

Przykłady tensora napięć-energiiEdytuj

Cząstka izolowanaEdytuj

Dla cząstki izolowanej (nie oddziałującej z otoczeniem) o masie m, znajdującej się w położeniu   tensor napięć-energii ma postać:

 

gdzie:

  – składowe wektora prędkości (nie należy mylić z 4-wektorem prędkości, który dodatkowo zawiera czynnik  ), tzn.  
 funkcja delta Diraca,
  – całkowita energia cząstki.

Wiele cząstek punktowychEdytuj

Dowolny rozkład materii/energii można otrzymać ze zbioru cząstek punktowych.

Dlatego tensor napięć-energii można wyrazić za pomocą sumy tensorów napięć-energii pojedynczych cząstek. Tensor ten dla pojedynczej cząstki ma postać

 

w położeniu, gdzie cząstka znajduje się aktualnie, zaś zero wszędzie indziej. Tensor ten zmienia się w ogólności w czasie, gdy zmienia się w czasie położenie i prędkość cząstki. Zmienna   jest wektorem prędkości, tj. równym pochodnej położenia cząstki względem czasu (nie czasu własnego)

 

Widać stąd, że wszystkie składowe tensora napięć-energii mają jednakowy wymiar  

Aby otrzymać tensor napięć-energii w przypadku zbioru wielu cząstek sumuje się tensory dla cząstek punktowych i dzieli przez objętość, jaką zajmuje zbiór cząstek – w ten sposób składowe tensora będą gęstościami pędu i ciśnienia, średnimi dla dyskretnego zbioru cząstek.

Element   jest energią cząstki. Stąd, jeżeli dodamy energie wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowitą energię.

Elementy   oznaczają pędy cząstek w kierunki   mnożone przez prędkość światła   Stąd, jeżeli dodamy te elementy od wszystkich cząstek punktowych, to otrzymamy całkowity pęd w kierunku   mnożony przez prędkość światła   czyli prędkość w kierunku osi czasu.

Podobnie, niediagonalne elementy   dla zbioru cząstek dodane do siebie dają sumę pędów cząstek w kierunku   mnożonych przez ich prędkości w kierunku  

Elementy diagonalne   wyglądają jak energie kinetyczne. W zbiorze cząstek chaotycznie poruszających się, jak np. w gazie, energia kinetyczna związana jest z ciśnieniem, dlatego elementy diagonalne odpowiadają za ciśnienie.

Tensor napięć-energii płynu w równowadzeEdytuj

Dla płynu idealnego w równowadze termodynamicznej tensor napięć-energii ma prostą postać[3]

 

gdzie:

  – gęstość masy-energii [kg/m³],
  – ciśnienie hydrostatyczne [Pa],
  – czteroprędkość płynu,
  – odwrotny tensor metryczny.

Ślad tego tensora wynosi

 

a czteroprędkość spełnia równanie

 

W układzie odniesienia poruszającym się z płynem, zwanym właściwym układem odniesienia, mamy

 

Odwrotny tensor metryczny ma postać

 

Tensor napięć-energii jest diagonalny

 

Elektromagnetyczny tensor napięć-energiiEdytuj

Tensor napięć-energii Hilberta dla pozbawionego źródeł pola elektromagnetycznego ma postać:

 

gdzie  tensor pola elektromagnetycznego.

Pole skalarnreEdytuj

Tensor napięć-energii dla pola skalarnego   które jest rozwiązaniem równania Kleina-Gordona ma postać

 

Gdy metryka jest płaska (metryka Minkowskiego), to otrzyma się:

 

Przybliżenie quasi-klasyczneEdytuj

Uważa się, że najdokładniejszy opis oddziaływanie pola grawitacyjnego z materią da kwantowa teoria grawitacji, traktująca materię i pole grawitacyjne jako układy kwantowe. Nie istnieje jednak jak dotąd kwantowa teoria grawitacji, choć podejmowane są liczne próby jej sformułowania.

Pierwszym podejściem w tym kierunku jest tzw. przybliżenie quasi-klasyczne, które traktuje pole grawitacyjnie w sposób klasyczny, a materię kwantowo, tzn. modyfikuje się równania Einsteina do postaci

 

czyli:

  • tensor pola grawitacyjnego (tensor Einsteina) pozostaje bez zmian,
  • tensora energii-pędu materii zastępuje się przez średni statystyczne tensor energii-pędu  

przy czym średni statystyczna zależy od funkcji falowej określającej stan kwantowy materii.

Tensor energii pędu jest teraz określony przez gęstość energii i ciśnienie układu fizycznego

 

gdzie   jest wektorem jednostkowym     jest przestrzennym rozkładem energii, a   rozkładem ciśnienia.

Np. w płaskiej przestrzeni Minkowskiego   wektor jednostkowy   i tensor energii-pędu ma postać macierzową

 

Aby rozwiązać równania Einsteina musi być podana pełna informacja o układzie fizycznym, dlatego trzeba zadać dodatkowo równanie stanu materii (EOS), określające zależność ciśnienia od gęstości materii

 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Landau 2009 ↓, s. 107.
  2. Landau 2009 ↓, s. 109.
  3. Landau 2009 ↓, s. 116.

BibliografiaEdytuj

  • Lew Landau, E.M. Lifszyc: Teoria pola. Warszawa: PWN, 2009.