Delta Diraca

Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a $F(s)=1$ i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.

Definicje

Definicja nieformalna

Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję $\delta \colon \mathbb {R} \to {\overline {\mathbb {R} }}$ taką, że:

$\delta (x)={\begin{cases}0,&x\neq 0\\+\infty ,&x=0\end{cases}}$

oraz

${}\,\int \limits _{-\infty }^{+\infty }{\delta (x)\;dx}=1$.

W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji.

Delta Diraca jako dystrybucja

Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję $\delta \colon C_{0}^{\infty }(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} ,$ tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:

$\delta (f):=f(0)$.

Delta Diraca jako miara

Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę $\delta \colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {\overline {R}} _{+}$ daną wzorem:

$\delta (A):={\begin{cases}1,&0\in A\\0,&0\notin A\end{cases}},$

gdzie ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w $\mathbb {R}$.

Własności delty Diraca

Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca.

Całkę funkcji $f$ względem miary $\mu$ po zbiorze $A$ oznacza się często $\int _{A}f(x)\mu ({\text{d}}x)$, dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie $\int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)$ na całkę funkcji $f$ względem delty Diraca po $\mathbb {R} .$

Delta Diraca ma następujące własności:

• $\int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=f(0),$
• $\int _{\mathbb {R} }\delta ({\text{d}}x)=1.$

Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.

Krok I

Gdy $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ jest funkcją prostą, tzn. $f=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{A_{i}},$ to bez straty ogólności możemy założyć, że $0\in A_{j},\ 1\leqslant j\leqslant n.$ Wtedy

$\int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=\int _{\mathbb {R} }\sum _{i=1}^{n}c_{i}\chi _{A_{i}}(x)\delta ({\text{d}}x)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}\delta (A_{i})=c_{j}=f(0).$

Krok II

Gdy $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+}$ jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych $(f_{n})_{n}.$ Wtedy korzystając z poprzedniego kroku

$\int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=\lim _{n\to \infty }\int _{\mathbb {R} }f_{n}(x)\delta ({\text{d}}x)=\lim _{n\to \infty }f_{n}(0)=f(0).$

Krok III

Gdy $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ jest dowolną funkcją mierzalną, to $f=f_{+}-f_{-},$ gdzie

$f_{+}(x):={\begin{cases}f(x),&f(x)\geqslant 0\\0,&f(x)<0\end{cases}},$

oraz

$f_{-}(x):={\begin{cases}-f(x),&f(x)<0\\0,&f(x)\geqslant 0\end{cases}}.$

Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku

$\int _{\mathbb {R} }f(x)\delta ({\text{d}}x)=\int _{\mathbb {R} }f_{+}(x)\delta ({\text{d}}x)-\int _{\mathbb {R} }f_{-}(x)\delta ({\text{d}}x)=f_{+}(0)-f_{-}(0)=f(0),$

co kończy dowód.

W szczególności kładąc $f\equiv 1$ otrzymuje się

$\int _{\mathbb {R} }\delta ({\text{d}}x)=1.$

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę $\delta _{a}\colon {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} _{+}$ daną wzorem

$\delta _{a}(A):={\begin{cases}1,&a\in A\\0,&a\notin A\end{cases}}.$

Wówczas

$\int _{\mathbb {R} }f(x)\delta _{a}({\text{d}}x)=f(a).$

Zastosowania

W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca $\delta _{a}$ jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej $X$ takiej, że $P(X=a)=1$.

Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili $t=0,$ o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

Zobacz też

• funkcja grzebieniowa