Delta Diraca

obiekt matematyczny będący miarą lub dystrybucją

Delta Diraca – obiekt matematyczny wprowadzony przez brytyjskiego fizyka teoretycznego Paula Diraca. Delta Diraca ma wiele ciekawych właściwości, jest przydatnym narzędziem w fizyce kwantowej, elektronice, mechanice i analizie matematycznej, gdzie w szczególności jest ona oryginałem dla transformaty Laplace’a i pochodną (w sensie dystrybucji) funkcji skokowej Heaviside’a. Współcześnie deltę Diraca definiuje się jako miarę, lub jako dystrybucję.

DefinicjeEdytuj

Definicja nieformalnaEdytuj

Fizycy definiują zwykle deltę Diraca jako funkcję   taką, że[1]:

 

oraz

 [2].

W rzeczywistości taka funkcja nie istnieje. Istotnie, zgodnie z definicją całka z takiej funkcji musiałaby być równa 0 (np. całka Lebesgue’a – punkt x=0 jest zbiorem miary Lebesgue’a równym 0, co powodowałoby, że automatycznie żądana całka zamiast 1 przyjmowałaby zawsze wartość 0). Z tego powodu powyższa definicja nie jest poprawna w ramach teorii zwykłych funkcji[2].

Delta Diraca jako dystrybucjaEdytuj

Deltę Diraca definiuje się na gruncie teorii dystrybucji, jako dystrybucję   tzn. funkcjonał liniowy i ciągły w sensie pewnej szczególnej topologii dany wzorem:

 [3].
Zobacz też: Teoria dystrybucji.

Delta Diraca jako miaraEdytuj

Na gruncie teorii miary deltę Diraca definiuje się jako miarę   daną wzorem:

 

gdzie   oznacza σ-ciało zbiorów borelowskich w  [4].

Własności delty DiracaEdytuj

Ponieważ delta Diraca jest miarą, to ma sens całkowanie względem delty Diraca.

Zobacz też: Całka Lebesgue’a.

Całkę funkcji   względem miary   po zbiorze   oznacza się często  [5], dlatego w dalszym ciągu będzie stosowane oznaczenie   na całkę funkcji   względem delty Diraca po  

Delta Diraca ma następujące własności:

  •  
  •  

Dowód pierwszej własności zostanie przeprowadzony w trzech krokach.

Krok I

Gdy   jest funkcją prostą, tzn.   to bez straty ogólności możemy założyć, że   Wtedy

 

Krok II

Gdy   jest nieujemną funkcją mierzalną, to konstruujemy ciąg aproksymacyjny funkcji prostych   Wtedy korzystając z poprzedniego kroku

 

Krok III

Gdy   jest dowolną funkcją mierzalną, to   gdzie

 

oraz

 

Wówczas, korzystając z poprzedniego kroku

 

co kończy dowód.

W szczególności kładąc   otrzymuje się

 

Definicję delty Diraca można nieco uogólnić definiując ją jako miarę   daną wzorem

 [4]

Wówczas

 

ZastosowaniaEdytuj

W rachunku prawdopodobieństwa delta Diraca   jest rozkładem prawdopodobieństwa zmiennej losowej   takiej, że  [4].

Delta Diraca w fizyce jest używana do przedstawienia bardzo krótkiego impulsu o jednostkowym polu (np. przenoszącego jednostkowy ładunek elektryczny), a w statyce – do reprezentowania sił punktowo obciążających belkę (np. w punktach podparcia). W przypadkach tych, delta Diraca jest matematycznym modelem nierealizowalnego fizycznie, nieskończenie wąskiego impulsu występującego w chwili   o nieskończenie dużej amplitudzie i polu równym 1.

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. delta Diraca, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-12-16].
  2. a b Matematyka, Fizyka, Chemia. Encyklopedia szkolna PWN, Warszawa: PWN, 2005.
  3. L. Górniewicz, R.S. Ingarden, Analiza matematyczna dla fizyków, wyd. V, Toruń: Wydawnictwo naukowe UMK, 2012, s. 563.
  4. a b c J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. IV, Warszawa: SCRIPT, 2010, s. 119.
  5. J. Jakubowski, R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa, wyd. IV, Warszawa: SCRIPT, 2010, s. 361.