Transformacja Laplace’a

transformacja całkowa funkcji

Definicja podstawowa

edytuj

Transformacją Laplace’a (przekształceniem Laplace'a)   nazywamy przekształcenie całkowe, które funkcji   zmiennej rzeczywistej   przyporządkowuje funkcję zespoloną   zmiennej zespolonej   za pomocą całki (zwanej całką Laplace'a)[1]

 

Zbiór   wszystkich funkcji, dla których powyższa całka jest zbieżna (tj. ma skończoną wartość w punktach   przynajmniej pewnej części płaszczyzny zespolonej), tworzy pewną przestrzeń funkcyjną.

Transformatą Laplace'a funkcji rzeczywistej   nazywamy funkcję zespoloną  , przyporządkowaną jej za pomocą powyższej całki. Możemy więc zapisać

 

Przyjmuje się różne symbole na oznaczanie transformaty Laplace'a, wskazujące na punkt  , do którego odnosi się wartość transformaty lub wskazujące na funkcję pierwotną   czy też jej wartość  :

 ,  ,  

Transformata Laplace'a jest szczególnie przydatna w rozwiązywaniu liniowych równań różniczkowych zwyczajnych, takich jak te powstające w analizie obwodów elektronicznych.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace’a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.

Warunki dostateczne zbieżności całki Laplace’a

edytuj

Funkcje, dla których całka Laplace'a jest na pewno zbieżna - przynajmniej w pewnej części płaszczyzny zespolonej, nazywa się oryginałami laplace'owskimi (krótko: oryginałami). Poza oryginałami istnieją inne funkcje, dla których całka Laplace'a jest zbieżna, ale nie da się ustalić wspólnych dla nich kryteriów i każdy przypadek wymaga osobnego zbadania.

Df. Oryginałem jest funkcja o dziedzinie rzeczywistej i wartościach w zbiorze liczb rzeczywistych, mająca następujące właściwości:[2]

  1.  
  2. w każdym otwartym przedziale skończonym spełniony jest pierwszy i drugi warunek Dirichleta
  3. Istnieje funkcja wykładnicza, która majoryzuje, czyli ogranicza wykładniczo funkcję   tj. istnieją takie liczby   że zachodzi nierówność
      dla wszystkich  

Zbieżność w całej płaszczyźnie całek Laplace'a z oryginałów

edytuj

Półpłaszczyzna zbieżności bezwzględnej. Pas zbieżności warunkowej

edytuj

Jeżeli funkcja   jest oryginałem, to:[3]

 
Półpłaszczyzny zbieżności-rozbieżności transformaty Laplace'a na płaszczyźnie zespolonej
  1. istnieje taka liczba  , że całka Laplace'a jest zbieżna dla punktów   takich, że  ; tym samym prosta   dzieli płaszczyznę zespoloną S na półpłaszczyznę zbieżności ( ) i półpłaszczyznę rozbieżności ( ). Na prostej   całka Laplace'a może być zbieżna lub rozbieżna.
  2. istnieje taka liczba  , że całka Laplace'a jest bezwzględnie zbieżna dla punktów   takich, że  ; tym samym prosta   dzieli płaszczyznę zespoloną   na półpłaszczyznę bezwzględnej zbieżności ( ) i półpłaszczyznę, w której całka Laplace'a nie jest bezwzględnie zbieżna ( ). Na prostej   całka Laplace'a może być bezwzględnie zbieżna lub nie być bezwzględnie zbieżna.
  3. zawsze jest   lub  ; gdy  , to w każdym punkcie pasa nieskończonego   całka Laplace'a jest zbieżna warunkowo; pas ten nazywa się pasem warunkowej zbieżności.

Zbieżność transformat Laplace'a z oryginałów i innych funkcji w całej płaszczyźnie[4]

edytuj

Obliczając transformatę Laplace'a nie należy przywiązywać dużego znaczenia do tego, jaka jest półpłaszczyzna zbieżności. Ważny jest jedynie fakt, że półpłaszczyzna rozbieżności w ogóle istnieje. Bowiem w takiej sytuacji transformatę można rozpatrywać jako zbieżną na całej płaszczyźnie zespolonej.

Np. całka Laplace'a funkcji skokowej Heaviside'a jest zbieżna tylko na półpłaszczyźnie  , natomiast transformatę   tej funkcji można rozpatrywać jako funkcję holomorficzną określoną na całej płaszczyźnie zespolonej, przy czym w punkcie   funkcja ta ma biegun pojedynczy.

Wnioski:

  1. Na pewno dla funkcji, które są oryginałami, istnieje półpłaszczyzna zbieżności, a więc i ich transformaty Laplace'a można rozpatrywać jako zbieżne na całej płaszczyźnie zespolonej - dlatego badanie, czy funkcja jest oryginałem wystarczy, by stosować do niej cały formalizm transformaty Laplace'a. Stąd też wynika znaczenie oryginałów.
  2. Powyższy wniosek dotyczy wszystkich innych funkcji, które mają półpłaszczyznę zbieżności.

Przykłady obliczeń

edytuj
 
Funkcja Heaviside’a;  

Przykład 1. Transformata funkcji skokowej

edytuj

Oblicz transformatę Laplace'a funkcji skokowej Heaviside’a   (tzw. funkcji jednostkowej), która przyjmuje wartość   dla ujemnych chwil czasu, wartość   dla chwili  , zaś wartość   dla dodatnich chwil czasu, tj.

 

Funkcja ta odgrywa szczególną rolę w teorii transformaty Laplace'a.

Rozwiązanie: Obliczamy:[3]

 
 

przy czym w ostatnim kroku obliczeń podstawiono   oraz skorzystano z wzoru Eulera ( ). Widać, że obliczana całka jest dla   zbieżna i równa  , zaś rozbieżna dla  , a zatem  . Ponadto  , ponieważ

 

Ostatecznie transformata Laplace'a funkcji jednostkowej wynosi:

 

Uwaga:

W Tablicy transformat (dalej) podana jest wartość transformaty  ; nie jest to jednak transformata z funkcji stałej  ; w zapisie tym milcząco zakłada się, że funkcja pierwotna ma postać  , co zapewnia spełnienie warunku, że funkcja jest oryginałem laplace'owskimi, a to gwarantuje istnienie transformaty.

Przykład 2. Transformata funkcji eksponencjalnej

edytuj

Niech   będzie dowolną liczbą zespoloną:[5]

 

Rozwiązanie: Suma   jest stałą liczbą (podobnie jak wcześniej  ) . Porównując tę całkę z obliczoną w przykładzie 1 możemy natychmiast napisać wynik

 

Interpretacja i związek z transformatą Fouriera

edytuj
 
Postacie funkcji   dla różnych zespolonych częstotliwości  , co można zapisać w postaci    zawiera tylko cosinusy. Dodatnie   zawiera cosinusy tłumione. Ujemne   zawiera cosinusy rosnące eksponencjalnie.

Za pomocą całki Laplace'a funkcja rzeczywista  , reprezentująca zmieniający się w czasie   sygnał (np. pole elektryczne fali, przychodzącej do odbiornika), jest transformowana na płaszczyznę S ( płaszczyznę zespoloną); dokonuje się to poprzez scałkowanie iloczynu funkcji   z wyrażeniami typu   dla czasu   od   do  :

 

przy tym   jest liczbą zespoloną, stałą w procesie obliczania całki.

Aby zrozumieć, co otrzymuje się w wyniku takiego działania, trzeba najpierw poznać działanie transformacji Fouriera (por. też analiza Fouriera), wyrażonej za pomocą analogicznej całki:

 

W całce Fouriera funkcje harmoniczne   mnożone są przez sygnał  ; wynikowa całka dostarcza informacji nt. zawartości poszczególnych harmonicznych, wchodzących w skład sygnału (dokonuje rozkładu sygnału na jego widmo).

Transformacja Laplace’a wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze: funkcje   w całce Laplace'a zależą od zmiennej zespolonej  , czyli de facto mają postać  ; dzięki temu pozwalają dokonać nie tylko analizy zawartości harmonicznych   w sygnale  , ale również efektów zaniku sygnału w czasie i przestrzeni, poprzez funkcję   Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być modelowana za pomocą transformacji Laplace'a. Transformacja Fouriera stanowi więc szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla  

Podobnie uogólnieniem dyskretnej transformaty Fouriera stanowi transformata Z, z którą powiązana jest transformata Laplace’a (zob. metoda Tustina).

Własności

edytuj

Poniżej zestawiono właściwości transformaty Laplace'a[6]

Liniowość

edytuj
 

Transformata pochodnej

edytuj

(a) pierwsza pochodna

 
gdzie:
  - granica prawostronna funkcji   w chwili  ; jest to np. warunek początkowy dla funkcji  będącej szukanym rozwiązaniem równania różniczkowego funkcji

(b) druga pochodna

 ,
gdzie:
 ,   - warunki początkowe dla funkcji   w chwili   (  oznacza granicę prawostronną pochodnej funkcji   w chwili  )

(c) n-ta pochodna

 ,
gdzie   - warunki początkowe funkcji   w chwili  

Pochodna n-tego rzędu transformaty

edytuj
 

Transformata całki

edytuj
 
gdzie   jest transformatą oryginału

Oznacza to, że: Całkowanie oryginału f(t) w dziedzinie czasu można zastąpić transformatą z oryginału, podzieloną przez zmienną s w dziedzinie częstotliwości

Całka transformaty

edytuj
 

Przesunięcie w dziedzinie transformaty

edytuj
 
 

Transformata funkcji z przesunięciem

edytuj
 
 
gdzie   oznacza skok jednostkowy.
 
Jest to tzw. twierdzenie Borela o splocie.

Transformata funkcji okresowej o okresie T

edytuj
 

Własności graniczne

edytuj
 
 

Tabela transformat Laplace’a

edytuj

Poniżej zestawiono transformaty Laplace'a częściej spotykanych funkcji[7]. Zakładamy, że funkcje, na których dokonuje się transformacji Laplace'a są oryginałami (wg. definicji wyżej podanej), w szczególności   dla  , mimo że jawnie nie zostało to zapisane w poniższych wzorach. (Tylko jednak przy takim założeniu transformata odwrotna zastosowana do transformaty funkcji pierwotnej zwróci funkcję pierwotną.)

Oznaczenia:   - stała liczba

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

gdzie  stała Eulera.

Transformata odwrotna Laplace’a

edytuj

Transformatą odwrotną funkcji   nazywamy taką funkcję   której transformatą jest  

  jeżeli  

Transformata odwrotna dana jest wzorem[1]

 

Rozwiązywanie równań różniczkowych za pomocą transformaty Laplace'a

edytuj

Równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach można rozwiązać wykorzystując transformatę Laplace'a.[8] Rozważmy równanie różniczkowe rzędu   postaci

 

gdzie:

  •   - szukana funkcja zmiennej  , określona przez warunki początkowe:
     
  •   - pochodne funkcji   po zmiennej   rzędu  
  •   - zadane stałe współczynniki
  •   - zadana funkcja zmiennej  , która posiada transformatę Laplace'a

Metoda szukania rozwiązania:

(1) Wykonujemy transformatę Laplace'a na obu stronach równania różniczkowego; korzystając z liniowości transformaty otrzymuje się:

 

(2) Korzystając ze wzorów na transformaty pochodnej funkcji poszczególnych rzędów po prostych rachunkach otrzymuje się:

 
- powyższy wzór przedstawia transformatę Laplace'a szukanej funkcji  .

(3) Transformatę Laplace'a rozkłada się na ułamki proste i odczytuje się z tabeli transformat funkcje pierwotne poszczególnych ułamków - w ten sposób otrzymuje się rozwiązanie.

Uwaga:

Ostatni krok jest analogiczny do sposobu znanego z teorii całek: funkcję pierwotną znajduje się najprościej na podstawie tabeli, zestawiającej funkcje podcałkowe i odpowiadające im funkcje pierwotne.

Przykład

edytuj

Znaleźć funkcję   spełniającą równanie[9]

 

z warunkiem początkowym  

Rozwiązanie: Znajdujemy transformatę Laplace'a obu stron równania

 

i korzystając z Tabeli transformat dla pochodnej funkcji i funkcji sin(t) otrzymamy:

 

Z powyższego równania obliczamy  , wykonując proste przekształcenia algebraiczne (i w tym tkwi siła tej metody, że równanie różniczkowe jest zamieniane z pomocą transformaty Laplace'a na proste równanie algebraiczne)

 

Po rozbiciu na ułamki proste mamy:

 

Aby znaleźć funkcję pierwotną należałoby wykonać transformatę odwrotną Laplace'a na powyższym równaniu. Jednak najprościej jest skorzystać z tabeli transformat, gdzie odnajdujemy oryginały na podstawie transformat, jakimi są poszczególne ułamki proste. Otrzymujemy:

 

Powyższe rozwiązanie spełnia warunki początkowe  , co łatwo sprawdzić, podstawiając do rozwiązania  

Zastosowanie

edytuj
Osobny artykuł: Funkcja przejścia.

Transformata Laplace’a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych. W inżynierii i fizyce jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna S. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez   daje efekt różniczkowania (zob. człon różniczkujący), dzielenie przez   daje efekt całkowania (zob. człon całkujący). Za pomocą transformaty Laplace'a można efektywnie rozwiązywać równania różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach.[6]

Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie S i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).

Kodowanie oznaczenia

edytuj

W Unikodzie symbol transformaty Laplace’a ma postać:

Znak Unicode Kod HTML Nazwa unikodowa Nazwa polska
U+2112 ℒ lub ℒ SCRIPT CAPITAL L pisana wielka litera L

W LaTeX-u używa się znacznika:

Znak LaTeX
  \mathcal L

Zobacz też

edytuj

Przypisy

edytuj

Bibliografia

edytuj

Linki zewnętrzne

edytuj