Otwórz menu główne

Transformacja Laplace’a

transformacja całkowa funkcji

Definicja podstawowaEdytuj

Jednostronną transformatą Laplace’a funkcji   nazywamy następującą funkcję  :

 

często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:

 

Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace’a) jest zbieżna. Wtedy funkcję   nazywamy transformacją Laplace’a.

Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty a transformacji Laplace’a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace’a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace’a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace’a jest jedynie obrazem pewnej funkcji   przez transformację Laplace’a.

Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace’a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.

Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace’aEdytuj

Warunkiem dostatecznym jest istnienie funkcji, która majoryzuje, czyli ogranicza wykładniczo funkcję  : istnieje takie   oraz   i   że zachodzi nierówność:

  dla  

Interpretacja oraz związek z transformatą Fouriera i transformatą ZEdytuj

Osobny artykuł: Transformacja Fouriera.

Wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace’a przedstawia się na płaszczyźnie zespolonej (tzw. płaszczyźnie S).

Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażeniem   w granicach od   do   gdzie   jest liczbą zespoloną

 

Jeden ze sposobów na zrozumienie, co otrzymuje się w wyniku takiego działania, polega na zwróceniu się ku analizie Fouriera. W analizie Fouriera krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem   zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).

Transformacja S (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a) wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie   ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty   Transformacja S uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji S. Transformacja Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla   Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.

Powiązanie transformaty Laplace’a z transformatą Z zob. metoda Tustina.

WłasnościEdytuj

LiniowośćEdytuj

 

Transformata pochodnejEdytuj

  gdzie   oznacza granicę prawostronną funkcji   w punkcie  
 
 

Pochodna transformatyEdytuj

 

Transformata całkiEdytuj

 

Całka transformatyEdytuj

 

Przesunięcie w dziedzinie transformatyEdytuj

 
 

Transformata funkcji z przesunięciemEdytuj

 
 
gdzie   oznacza skok jednostkowy.

Splot jednostronnyEdytuj

 
Jest to tzw. twierdzenie Borela o splocie.

Transformata funkcji okresowej o okresie TEdytuj

 

Własności graniczneEdytuj

 
 

Transformaty Laplace’a częściej spotykanych funkcjiEdytuj

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

gdzie  stała Eulera.

Transformata odwrotna Laplace’aEdytuj

Transformatą odwrotną funkcji   nazywamy taką funkcję   której transformatą jest  :

  jeżeli  

ZastosowanieEdytuj

Osobny artykuł: Funkcja przejścia.

Transformata Laplace’a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych. W inżynierii i fizyce jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna S. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez   daje efekt różniczkowania (zob. człon różniczkujący), dzielenie przez   daje efekt całkowania (zob. człon całkujący). Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie S i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).

Kodowanie oznaczeniaEdytuj

W Unikodzie symbol transformaty Laplace’a ma postać:

Znak Unicode Kod HTML Nazwa unikodowa Nazwa polska
U+2112 ℒ lub ℒ SCRIPT CAPITAL L pisana wielka litera L

W LaTeX-u używa się znacznika:

Znak LaTeX
  \mathcal{L}

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • W. Krysicki, L. Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Część II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 378–385. ISBN 83-01-02440-2.

Linki zewnętrzneEdytuj