Transformacja Laplace’a
Ten artykuł od 2010-12 wymaga zweryfikowania podanych informacji: jaka jest dziedzina?. |
Definicja podstawowa edytuj
Jednostronną transformatą Laplace’a funkcji nazywamy następującą funkcję
często zapisywaną, zwłaszcza w środowisku inżynierskim, w następującej formie:
Niech X oznacza przestrzeń funkcji, dla których powyższa całka (zwana całką Laplace’a) jest zbieżna. Wtedy funkcję nazywamy transformacją Laplace’a.
Należy zwrócić uwagę na rozróżnienie pomiędzy pojęciem transformaty a transformacji Laplace’a. Zgodnie z powyższą definicją transformacja Laplace’a jest przekształceniem zbioru funkcji, dla których całka Laplace’a jest zbieżna w zbiór funkcji zespolonych zmiennej zespolonej. Natomiast transformata Laplace’a jest jedynie obrazem pewnej funkcji przez transformację Laplace’a.
Matematykiem, który zdefiniował transformację Laplace’a i od którego nazwiska wzięła ona nazwę był Pierre Simon de Laplace.
Warunki zbieżności całki z transformatą Laplace’a edytuj
Warunkiem dostatecznym jest istnienie funkcji, która majoryzuje, czyli ogranicza wykładniczo funkcję istnieje takie oraz i że zachodzi nierówność:
- dla
Interpretacja oraz związek z transformatą Fouriera i transformatą Z edytuj
Wykresy funkcji poddanych przekształceniu Laplace’a przedstawia się na płaszczyźnie zespolonej (tzw. płaszczyźnie S).
Funkcja rzeczywista czasu może być przetransformowana na płaszczyznę S poprzez scałkowanie iloczynu takiej funkcji z wyrażeniem w granicach od do gdzie jest liczbą zespoloną
Jeden ze sposobów na zrozumienie, co otrzymuje się w wyniku takiego działania, polega na zwróceniu się ku analizie Fouriera. W analizie Fouriera krzywe harmoniczne sinus i cosinus (z wzoru Eulera mamy bowiem zob. też szereg Fouriera) mnożone są przez sygnał i wynikowe całkowanie dostarcza wskazówki na temat sygnału obecnego dla danej częstotliwości (na przykład energii sygnału dla danego punktu w dziedzinie częstotliwości, zob. też widmo sygnału).
Transformacja S (powszechnie określana mianem transformacji Laplace’a) wykonuje podobne działanie, ale o bardziej ogólnym charakterze. Wyrażenie ujmuje nie tylko częstotliwości, ale również rzeczywiste efekty Transformacja S uwzględnia więc nie tylko przebiegi częstotliwościowe, ale także efekty o charakterze zaniku. Na przykład krzywa sinusoidalna tłumiona może być odpowiednio zamodelowana za pomocą transformacji S. Transformacja Laplace’a stanowi więc uogólnienie transformacji Fouriera. Ściślej przekształcenie Fouriera stanowi szczególny przypadek przekształcenia Laplace’a dla Podobnie transformata Z stanowi uogólnienie dyskretnej transformaty Fouriera.
Powiązanie transformaty Laplace’a z transformatą Z zob. metoda Tustina.
Własności edytuj
Liniowość edytuj
Transformata pochodnej edytuj
- gdzie oznacza granicę prawostronną funkcji w punkcie
Pochodna transformaty edytuj
Transformata całki edytuj
Całka transformaty edytuj
Przesunięcie w dziedzinie transformaty edytuj
Transformata funkcji z przesunięciem edytuj
- gdzie oznacza skok jednostkowy.
Splot jednostronny edytuj
- Jest to tzw. twierdzenie Borela o splocie.
Transformata funkcji okresowej o okresie T edytuj
Własności graniczne edytuj
Transformaty Laplace’a częściej spotykanych funkcji edytuj
gdzie – stała Eulera.
Transformata odwrotna Laplace’a edytuj
Transformatą odwrotną funkcji nazywamy taką funkcję której transformatą jest
- jeżeli
Zastosowanie edytuj
Transformata Laplace’a posiada kilka własności, które czynią ją szczególnie użyteczną w analizie liniowych układów dynamicznych. W inżynierii i fizyce jako narzędzie analizy graficznej wykorzystywana jest płaszczyzna S. Na płaszczyźnie S, mnożenie przez daje efekt różniczkowania (zob. człon różniczkujący), dzielenie przez daje efekt całkowania (zob. człon całkujący). Analiza pierwiastków zespolonych równania na płaszczyźnie S i przedstawienie ich na wykresie Arganda, może ujawnić informacje na temat charakterystyk częstotliwościowych i na temat stabilności układu (przebieg rzeczywistej funkcji czasu).
Kodowanie oznaczenia edytuj
W Unikodzie symbol transformaty Laplace’a ma postać:
Znak | Unicode | Kod HTML | Nazwa unikodowa | Nazwa polska |
---|---|---|---|---|
ℒ | U+2112 | ℒ lub ℒ
|
SCRIPT CAPITAL L | pisana wielka litera L |
W LaTeX-u używa się znacznika:
Znak | LaTeX |
---|---|
\mathcal L
|
Zobacz też edytuj
Bibliografia edytuj
- Włodzimierz Krysicki, Lech Włodarski: Analiza matematyczna w zadaniach. Część II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 378–385. ISBN 83-01-02440-2.
Linki zewnętrzne edytuj
- Materiały dydaktyczne DSP AGH. dsp.agh.edu.pl. [zarchiwizowane z tego adresu (2013-12-17)].