Otwórz menu główne
Ten artykuł dotyczy równania pola. Zobacz też: E = mc² - równoważność masy i energii.

Równanie Einsteinarównanie pola ogólnej teorii względności, zwane też równaniem pola grawitacyjnego.

Równanie to ma następującą postać:

gdzie:

tensor krzywizny Ricciego,
skalar krzywizny Ricciego,
tensor metryczny,
stała kosmologiczna,
tensor energii-pędu,
liczba pi,
cprędkość światła w próżni,
Gstała grawitacji.

Natomiast opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 × 4, ma więc 10 niezależnych składowych.

Jest to równanie tensorowe, jednak rozbijając tensor na składowe, można otrzymać z niego układ równań liczbowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Powyższa postać równania przedstawiona jest przy użyciu konwencji znaków tensora metrycznego stosowanej często w polskiej literaturze. Konwencja ta nie jest jedyną możliwą. Spotyka się czasem (np. w angielskiej Wikipedii) zapis przy użyciu alternatywnej konwencji co prowadzi do zmiany znaku prawej strony równania.

Równanie Einsteina można rozumieć jako równanie na tensor metryczny który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii-pędu.

Pomimo prostego wyglądu równanie Einsteina jest bardzo skomplikowane. Spowodowane jest to złożoną i nieliniową zależnością tensora i skalara krzywizny Ricciego od tensora metrycznego. W konsekwencji równanie Einsteina zostało rozwiązane analityczne jedynie w nielicznych przypadkach – np. dla układów o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy (np. metryka Schwarzschilda).

W zastosowaniach astrofizycznych (ale nie kosmologicznych) stałą kosmologiczną można zaniedbać. Równanie Einsteina bez stałej kosmologicznej można zapisać w bardziej zwartej postaci, definiując tensor Einsteina:

który jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu będącym funkcją tensora metrycznego Przechodząc do jednostek geometrycznych, gdzie otrzymamy równanie Einsteina w postaci:

Lewa strona równania reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną tensorem metrycznym. Prawa strona natomiast opisuje materię i energię wypełniającą czasoprzestrzeń. Tak więc pomimo złożonej szczegółowej formy matematycznej fundamentalne znaczenie równania Einsteina można zamknąć w stwierdzeniu: rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni wprost i jednoznacznie określa jej krzywiznę.

Rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni opisywany jest przez tensor energii-pędu. Każda z jego składowych określa strumień pędu na jednostkę objętości przestrzeni. Składowa 0,0 oznacza np. gęstość masy. W zastosowaniach kosmologicznych można przyjąć przybliżony wzór:

gdzie:

– wektor jednostkowy
– przestrzenny rozkład energii,
– rozkład ciśnienia.

Wraz z równaniem linii geodezyjnych, równanie Einsteina stanowi podstawę matematycznego sformułowania ogólnej teorii względności.

Spis treści

Nieliniowość równaniaEdytuj

Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego. Nieliniowość równań odróżnia ogólną teorię względności od innych współczesnych teorii fizycznych. Na przykład równania Maxwella są liniowe tak w polach magnetycznych, jak i elektrycznych oraz w rozkładach prądów i ładunków. Podobnie równanie Schrödingera mechaniki kwantowej jest liniowe w funkcji falowej, co oznacza, że suma rozwiązań jest także rozwiązaniem.

Rozwiązania w próżniEdytuj

Pamiętając, że   równanie Einsteina można wysumować z   otrzymujemy:

 

gdzie:

  – ślad tensora energii-pędu.

W próżni gdy   i   oraz gdy   to rozwiązaniem równań Einsteina jest

  1. przestrzeń płaska, tj. taka że   np. przestrzeń Minkowskiego,
  2. rozwiązanie z metryką Schwarzschilda.

Gdy stała kosmologiczna jest różna od zera, to nawet w próżni czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę   (Wszechświat de Sittera). Podobnie będzie, gdy materia posiada znikający ślad tensora energii-pędu T. Taką własność ma materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m → 0, wtedy równanie stanu daje   przykładem jest gaz fotonowy).

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • John C. Baez, Emory F. Bunn, The meaning of Einstein’s equation, „American Journal of Physics”, 73 (7), 2005, s. 644–652, DOI10.1119/1.1852541, arXiv:gr-qc/0103044 (ang.).