Otwórz menu główne

Prędkość

wektorowa lub skalarna wielkość fizyczna
Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia.

Prędkość – wielkość fizyczna opisująca szybkość zmiany położenia ciała względem układu odniesienia. Prędkość jest podstawową koncepcją kinematyki, gałęzi mechaniki klasycznej opisującej ruch ciał.

Prędkość
Rodzaj wielkości wektorowa lub skalarna
Symbol
Jednostka SI m/s
W podstawowych jednostkach SI
Inne jednostki km/h, mph, ft/s
Wymiar

Prędkość może określać:

Jednostką prędkości w układzie SI jest metr na sekundę (m/s).

Definicje prędkościEdytuj

Prędkość w ruchu prostoliniowymEdytuj

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną drogi po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

 

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość wektorowaEdytuj

 
Zmiana wektora położenia i tor ruchu.
 
Zależności między wielkościami kinematycznymi.

Prędkość wektorowa średnia określana jest jako iloraz zmiany wektora położenia do czasu, w jakim ta zmiana nastąpiła, co można określić wzorem[1]:

 
 

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

 

Gdy odstęp czasu, w którym wyznacza się prędkość średnią, zmniejsza się, iloraz wektora zmiany położenia do czasu, w którym ta zmiana nastąpiła, dąży do pewnego wektora granicznego zwanego prędkością ciała w danym punkcie lub prędkością chwilową. Definicję tę można wyrazić wzorem[1]:

 

Prędkość jest pochodną wektora położenia względem czasu i jest wielkością wektorową, może być rozłożona na składowe, mające kierunek osi współrzędnych, podobnie wektor elementarnej zmiany położenia może być rozłożony na współrzędne[1]

 

Wektor prędkości chwilowej jest równoległy do wektora zmiany położenia, przez co wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru ruchu ciała[1].

Prędkość jako wielkość niewektorowaEdytuj

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych[1]

 

Przy czym droga   jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu. Jeżeli prędkość zmienia się, to droga jest równa sumie małych odcinków drogi, na których uznaje się, że prędkość jest stała i jest określana jako prędkość chwilowa[2]:

 

Droga przebyta w niewielkim odcinku czasu, w którym prędkość nie zmienia się, jest proporcjonalna do prędkości i czasu. Droga przebyta gdy zmienia się prędkość może być obliczona jako suma, a w granicy jako całka, dróg na odcinkach, na których prędkość nie zmienia się:

 

Stąd też prędkość średnia:

 

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej[2]

 

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej. Równość zachodzi tylko wtedy gdy tor jest prostoliniowy

 

Prędkość w różnych układach współrzędnychEdytuj

Układ współrzędnych kartezjańskichEdytuj

W układzie współrzędnych kartezjańskich trzy składowe prędkości (w przestrzeni) albo dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi:

 

Prędkość można zapisać jako współrzędne wektora

 

lub z użyciem wersorów osi

 

Wartość prędkości dana jest wzorem:

 

Układ współrzędnych biegunowychEdytuj

Układ współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie są dwie współrzędne, promień wodzący   i amplituda punktu   będąca kątem między wybranym kierunkiem a danym.

W układzie tym prędkość można określić poprzez transformację do kartezjańskiego układu współrzędnych o początku będącym początkiem układu biegunowego i zorientowanego względem zerowej amplitudy albo przez wyznaczenie kartezjańskiego układu współrzędnych o kierunku zgodnym z promieniem wodzącym. Transformacje określają wzory[3]:

  • prędkość radialna – prędkość zmiany długości promienia wodzącego
 
  • prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego
 

gdzie   jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

 

Wartość prędkości całkowitej[3]:

 

Układ współrzędnych walcowychEdytuj

Układ współrzędnych walcowych, jest uogólnieniem układu biegunowego na przestrzeń trójwymiarową poprzez dodanie do współrzędnych biegunowych współrzędnej w kierunku osi z. Współrzędna z jest liniowa, odpowiadająca jej składowa prędkości jest równa:

 

Transformacja do kartezjańskich współrzędnych prędkości określa wzór:

 

Wartość prędkości:

 

Układ współrzędnych sferycznychEdytuj

W układzie współrzędnych sferycznych położenie w przestrzeni opisane jest przez współrzędne: promień wodzący, długość azymutalna i odległość zenitalna   Wprowadzając układ kartezjański o kierunkach osi zgodnych ze zmianami współrzędnych sferycznych, transformacja współrzędnych prędkości wyraża się wzorami:

 
 
 

gdzie:

  •   jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (OZ),
  •   jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (OZ). Tym kierunkiem może być oś OX.

Współrzędne prędkości w wyżej opisanym kartezjańskim układzie współrzędnych:

 

Moduł (wartość) prędkości:

 

Dowolne współrzędne krzywolinioweEdytuj

Z definicji prędkość   jest równa pochodnej promienia wodzącego   względem czasu:   Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący   poruszającego się punktu można uważać za funkcję współrzędnych krzywoliniowych   tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu t[4]:

 
(1)

Stąd

 
(2)

oraz

 
(3)

gdzie wskaźniki   i   przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest[4]

  dla  

i dzięki temu

 
(4)

Jeżeli promień wodzący   przedstawiony jest jako funkcja zmiennych   to wzory na prędkość   przybiorą postać[4]

 
(5)
 
(6)

Definicja wersorów:   osi   wzorem

 
(7)

Prędkość można teraz zapisać w postaci

 
(8)

w której   jest składową prędkości   wzdłuż osi  

Prostopadły rzut prędkości   na oś   jest równy

 
(8)

Ze wzoru (3) wynika równość

 

skąd wynika, że

 

Rzut prostopadły prędkości określa wzór[4]

 
(9)

Związek z przyspieszeniemEdytuj

 
Graficzna interpretacja zależności drogi i przyspieszenia od prędkości na wykresie prędkości od czasu.

Szybkość zmiany prędkości to przyspieszenie:

 

Z zależności tej wynika wyrażenie na prędkość w zależności od przyspieszenia:

 

W ruchu prostoliniowym:

 

Na wykresie zależności prędkości od czasu chwilowe przyspieszenie ciała w danym momencie jest równe nachyleniu linii stycznej do krzywej w tym punkcie.

Prędkość kątowaEdytuj

Osobny artykuł: Prędkość kątowa.

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

 

gdzie   jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując   jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

 

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

 

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchówEdytuj

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowymEdytuj

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna   Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

 
 

gdzie:

  – wektor położenia jako funkcja czasu  
  – przebyta droga,
  – czas trwania ruchu,
  – funkcja położenia (skalar) od czasu.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonymEdytuj

Przyspieszenie   jest stałe i niezerowe, więc prędkość   zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

 
 

gdzie:

  – całkowity czas ruchu,
  – wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia   jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości  

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)Edytuj

W tym ruchu wektor prędkości kątowej   jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

 

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

 

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

 
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 84.
  2. a b Wróblewski i Zakrzewski 1984 ↓, s. 84–86.
  3. a b Jerzy Kwela, Mechanika klasyczna i relatywistyczna, Gdańsk: Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, 2010, ISBN 978-83-7326-703-9.
  4. a b c d G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960.

BibliografiaEdytuj