Otwórz menu główne

Prędkość

wektorowa lub skalarna wielkość fizyczna
Ten artykuł dotyczy definicji prędkości w kinematyce punktu materialnego . Zobacz też: inne znaczenia.

Prędkość to wektorowa wielkość fizyczna wyrażająca zmianę wektora położenia punktu w jednostce czasu[1]. Jednostka prędkości w układzie SI to metr na sekundę.

Prędkość
Rodzaj wielkości wektorowa lub skalarna
Symbol
Jednostka SI m/s
W podstawowych jednostkach SI
Inne jednostki km/h, mph, ft/s
Wymiar

Spis treści

Definicje prędkościEdytuj

Prędkość w ruchu prostoliniowymEdytuj

Dla ruchu wzdłuż prostej prędkość definiuje się jako pochodną drogi po czasie, czyli granicę przyrostów przesunięcia do przyrostu czasu w jakim nastąpił ten przyrost, dla nieskończenie małego przyrostu czasu:

 

Prędkość ta zwana jest prędkością chwilową, w przeciwieństwie do prędkości średniej wyznaczonej dla dłuższego odcinka.

Prędkość średnia wektorowaEdytuj

Prędkość wektorowa średnia określa szybkość zmiany wektora położenia w dłuższym czasie i definiuje się jako:

 

Wynikającą z tego zmianę położenia określa wzór:

 

Prędkość jako wielkość niewektorowaEdytuj

W wielu przypadkach prędkość rozumiana jest jako stosunek drogi do czasu jej przebycia. Tak jest rozumiana intuicyjnie, a także w wielu problemach fizycznych.

Przy czym droga jest rozumiana jako długość odcinka krzywej (toru), po której porusza się ciało, od punktu początkowego do końcowego ruchu.

Prędkość chwilowa:

 

Prędkość chwilowa niewektorowa jest równa modułowi (wartości) prędkości chwilowej wektorowej.

Droga zależy od prędkości chwilowej:

 

Stąd też zależność na prędkość średnią:

 
 

Średnia prędkość niewektorowa jest większa lub równa modułowi średniej prędkości wektorowej.

Prędkość w różnych układach współrzędnychEdytuj

Dowolne współrzędne krzywolinioweEdytuj

Z definicji prędkość   jest równa pochodnej promienia wodzącego   względem czasu:   Aby wyrazić prędkość we współrzędnych krzywoliniowych, obliczamy tę pochodną według reguły różniczkowania funkcji złożonej, mając na uwadze, że promień wodzący   poruszającego się punktu można uważać[1] za funkcję współrzędnych krzywoliniowych   tego punktu, które z kolei są pewnymi funkcjami czasu  

 
(1)

Stąd mamy

 
(2)

oraz

 
(3)

gdzie wskaźniki   i   przebiegają niezależnie od siebie wszystkie wartości od 1 do 3. W przypadku układu ortogonalnego jest[1]

 dla 

i dzięki temu

 
(4)

Jeżeli promień wodzący   przedstawimy jako funkcję zmiennych   to wzory na prędkość   przybiorą postać[1]

 
(5)
 
(6)

Zdefiniujmy wersory   osi   wzorem

 
(7)

Prędkość można teraz zapisać w postaci

 
(8)

w której   jest składową prędkości   wzdłuż osi   Prostopadły rzut prędkości   na oś   jest równy

 
(8)

Ze wzoru (3) wynika równość

 

skąd wynika, że

 

Na rzut prostopadły prędkości otrzymujemy wzór[1]

 
(9)

Układ współrzędnych kartezjańskichEdytuj

Trzy składowe prędkości (w przestrzeni  ) lub dwie (na płaszczyźnie) wyrażone są takimi samymi wzorami jak prędkości w ruchu prostoliniowym, przy czym drogą jest w tym przypadku współrzędna danej osi

 

Prędkość całkowitą można wyznaczyć z jej składowych

 

lub z użyciem wersorów osi

 

Wartość prędkości dana jest wzorem:

 

Układ współrzędnych biegunowychEdytuj

W układzie współrzędnych biegunowych na płaszczyźnie występują dwie składowe prędkości:

  • prędkość radialna, czyli prędkość zmiany długości promienia wodzącego
 
  • prędkość transwersalna – prędkość zmiany położenia w kierunku prostopadłym do promienia wodzącego
 

gdzie   jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku.

Prędkość całkowita:

 

Wartość prędkości całkowitej:

 

Układ współrzędnych walcowychEdytuj

Podobnie jak dla współrzędnych biegunowych, tylko dochodzi jedna współrzędna w kierunku osi    

Prędkość całkowita:

 

Wartość prędkości całkowitej:

 

Układ współrzędnych sferycznychEdytuj

We współrzędnych sferycznych występują dwie prędkości prostopadłe do promienia

 

gdzie   jest kątem mierzonym od ustalonego kierunku, np. od osi (0Z)

 

gdzie kąt   jest kątem, jaki tworzy rzut wektora wodzącego z ustalonym kierunkiem na płaszczyźnie prostopadłej do kierunku pierwszej osi (0Z). Tym kierunkiem może być oś 0X.

Prędkość całkowita:

 

Wartość prędkości całkowitej:

 

Prędkość kątowaEdytuj

Osobny artykuł: Prędkość kątowa.

W ruchach krzywoliniowych definiowana jest prędkość kątowa

 

gdzie   jest kątem obrotu wokół pewnej osi ustalonej osi. Traktując   jako kąt skierowany, można przypisać prędkości kątowej kierunek osi obrotu i zwrot zgodny z regułą śruby prawoskrętnej

 

Tak zdefiniowana prędkość kątowa jest pseudowektorem. Pomiędzy prędkością kątową, a prędkością transwersalną zachodzi następujący związek

 

Przykłady prędkości w różnych rodzajach ruchówEdytuj

Zmiany prędkości są podstawą klasyfikacji ruchów w fizyce.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnym prostoliniowymEdytuj

Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym jest stała (zarówno jej kierunek i wartość). Przyjmuje się odtąd, że do położenia ciała wystarczy jedna współrzędna   Każdy ruch prostoliniowy można przez odpowiednie obroty układu współrzędnych, sprowadzić do przypadku jednowymiarowego. Prędkość w ruchu jednostajnym prostoliniowym określa więc następująca zależność:

 
 

gdzie:

  – wektor położenia jako funkcja czasu  
  – przebyta droga,
  – czas trwania ruchu,
  – funkcja położenia (skalar) od czasu.

Prędkość liniowa w ruchu jednostajnie przyspieszonymEdytuj

Przyspieszenie   jest stałe i niezerowe, więc prędkość   zmienia się. W ruchu tym także można ograniczyć się do rozpatrywania jednej współrzędnej.

 
 

gdzie:

  – całkowity czas ruchu,
  – wektor prędkości jako funkcja czasu.

Czasem (zazwyczaj z powodów dydaktycznych) wyróżnia się specjalny przypadek ruchu jednostajnie przyspieszonego prostoliniowego – ruch jednostajnie opóźniony prostoliniowy. W ruchu tym wektor przyspieszenia   jest stały i skierowany przeciwnie do wektora prędkości  

Ruch jednostajny po okręgu (prędkość kątowa)Edytuj

W tym ruchu wektor prędkości kątowej   jest stały i jego wartość wyraża się wzorem:

 

Prędkość w ruchu po okręgu też jest stała i wiąże się z prędkością kątową wzorem

 

Znajomość prędkości kątowej umożliwia zapisanie równań ruchu po okręgu we współrzędnych kartezjańskich

 
 

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e G.K. Susłow, Mechanika teoretyczna, PWN, Warszawa 1960

Zobacz teżEdytuj