Otwórz menu główne

Charakterystyka – dla danego pierścienia z jedynką najmniejsza liczba elementów neutralnych mnożenia pierścienia (tzw. jedynek), które należy do siebie dodać, aby uzyskać element neutralny dodawania (tzn. zero); mówi się, że pierścień ma charakterystykę zero, jeżeli taka liczba nie istnieje. Innymi słowy jest to najmniejsza dodatnia liczba całkowita która spełnia

jeżeli taka liczba istnieje i w przeciwnym przypadku[1]. Charakterystykę można również zdefiniować jako wykładnik grupy addytywnej pierścienia, tzn. najmniejszą dodatnią liczbę całkowitą taką, że

dla każdego elementu pierścienia (gdy istnieje; w przeciwnym przypadku charakterystyka jest równa zero).

W przypadku, gdy pierścień nie ma jedynki, charakterystykę można zdefiniować jedynie w ten drugi sposób. W pierścieniach z jedynką definicje te są równoważne na mocy prawa rozdzielności mnożenia względem dodawania obowiązującego w pierścieniach.

Równoważnie charakterystykę pierścienia z jednością definiuje się jako taką liczbę naturalną dla której jest jądrem homomorfizmu bądź taką, że zawiera podpierścień izomorficzny z pierścieniem ilorazowym (stanowi on wtedy obraz wspomnianego homomorfizmu)[2]. Istnieje tylko jeden homomorfizm liczb całkowitych w jakikolwiek pierścień (bo dla każdego homomorfizmu ); w języku teorii kategorii oznacza to, że jest obiektem początkowym kategorii pierścieni z jednością.

PierścienieEdytuj

Jeżeli   i   są pierścieniami i istnieje homomorfizm pierścieni   to charakterystyka   dzieli charakterystykę   Z faktu tego korzysta się niekiedy, aby wykluczyć istnienie pewnych homomorfizmów. Jedynym pierścieniem o charakterystyce 1 jest pierścień trywialny o jednym elemencie   Jeżeli nietrywialny pierścień   nie ma dzielników zera, to jego charakterystyka jest równa zeru bądź liczbie pierwszej. W szczególności odnosi się to do wszystkich ciał, dziedzin całkowitości i pierścieni z dzieleniem. Każdy pierścień charakterystyki zero jest zbiorem nieskończonym.

Pierścień   liczb całkowitych modulo   ma charakterystykę   Podpierścień danego pierścienia (ze samą jedynką) ma tę samą co on charakterystykę. Przykładowo jeżeli   jest wielomianem pierwszym o współczynnikach z ciała   gdzie   jest liczbą pierwszą, to pierścień ilorazowy   jest ciałem charakterystyki   Ciałami charakterystyki zero są: ciało liczb wymiernych   ciało liczb rzeczywistych   ciało liczb zespolonych   bo

 

Jeżeli pierścień przemienny   ma charakterystykę   będącą liczbą pierwszą, to   dla wszystkich elementów  

W pierścieniu   o charakterystyce   odwzorowanie   jest homomorfizmem   w siebie (endomorfizmem) znanym jako endomorfizm Frobeniusa. Jeżeli   jest dziedziną całkowitości, to jest on iniektywny, co oznacza, że   jest automorfizmem.

CiałaEdytuj

Charakterystyka dowolnego ciała jest równa zeru lub jest liczbą pierwszą.

Dla dowolnego ciała   istnieje podciało minimalne (tzn. ciało niezawierające podciała właściwego), zwane ciałem prostym; jest to najmniejsze podciało zawierające   (por. grupa prosta). Jest ono izomorficzne z ciałem   liczb wymiernych bądź ciałem skończonym  -elementowym   gdzie   jest liczbą pierwszą. Ciała charakterystyki zero mają dobrze znane własności; przypominają one podciała liczb zespolonych (o ile nie są nazbyt dużej mocy). Często stosowane w teorii liczb liczby p-adyczne są ciałami charakterystyki zero; powstają one z pierścieni charakterystyki   przy  

Charakterystyka dowolnego ciała uporządkowanego (np. liczb wymiernych lub liczb rzeczywistych) wynosi zero. Ciało skończone   jest charakterystyki   Istnieją ciała nieskończone charakterystyki wyrażającej się liczbą pierwszą – przykładem może być ciało wszystkich funkcji wymiernych nad   Innym przykładem może być domknięcie algebraiczne  

Rozmiar (rząd) dowolnego pierścienia skończonego charakterystyki będącej liczbą pierwszą   jest potęgą liczby   Ponieważ pierścień taki musi zawierać   to musi on być przestrzenią liniową nad tym ciałem, zaś z algebry liniowej wiadomo, że rozmiary (wymiary) skończonych przestrzeni liniowych nad ciałami skończonymi są potęgami rozmiarów (rzędu) ciała. Wynika stąd także, że rozmiar (wymiar) dowolnej skończonej przestrzeni liniowej jest potęgą liczby pierwszej (jest to przestrzeń liniowa nad ciałem skończonym rozmiaru (rzędu)   stąd też rozmiar (wymiar) przestrzeni musi być równy  ).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Carl Faith: Algebra: Rings, Modules and Categories. T. 1. Springer-Verlag, 1973.; tłum. ros. 1977, s. 153.
  2. Serge Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973, s. 83.

BibliografiaEdytuj

  • Neal McCoy: The Theory of Rings. Warszawa: Chelsea Publishing, 1973, s. 4.
  • Serge Lang: Algebra. Warszawa: PWN, 1973.
  • Carl Faith: Algebra: Rings, Modules and Categories. T. 1. Springer-Verlag, 1973.