Teoria kategorii – dział matematyki zapoczątkowany w 1945 przez polskiego matematyka Samuela Eilenberga i Amerykanina Saundersa Mac Lane’a. Pewne idee teorii kategorii dojrzewały wcześniej u różnych autorów, głównie w kontekście topologii algebraicznej, pojawiło się m.in. oznaczanie funkcji symbolem Dużą rolę w tych zmianach odegrał polski topolog Witold Hurewicz[a][1].

Na teorię kategorii można patrzeć rozmaicie. Można uważać ją za wyraźnie określoną teorię matematyczną, mającą swoje pojęcia pierwotne, aksjomaty, definicje, twierdzenia, dowody i bardzo ważne zastosowania w wielu innych działach matematyki, zwłaszcza w algebrze homologicznej, topologii algebraicznej i geometrii algebraicznej, a także w teorii języków programowania.

Można też podejść do teorii kategorii inaczej: jako do pewnej ogólnej metody ujmowania teorii matematycznych, mającej wiele cech algebry, unifikującej – nieraz w nieoczekiwany sposób – pojęcia z różnych dziedzin, konkurującej z podejściem mnogościowym.

Punktem wyjścia teorii mnogości są pojęcia: element, zbiór i przynależenie Punktem zaś wyjścia teorii kategorii są wyidealizowane funkcje (odwzorowania), zwane morfizmami lub strzałkami, ich składanie i odwracanie, a same elementy (argumenty bądź wartości funkcji) odgrywają rolę drugorzędną (lub nieraz wcale ich nie ma). Jedną z cech kategoryjnego podejścia jest specyficzne stosowanie diagramów przemiennych.

Teoria kategorii może też służyć jako podstawa, w której ramach da się zrekonstruować teorię mnogości i tym samym też niemal całą matematykę; ponadto można użyć środków teorii kategorii do badania logicznych aspektów pewnych teorii matematycznych i informatyki, zarówno z punktu widzenia logiki klasycznej, jak i intuicjonistycznej[b].

Na przestrzeni lat język i sposób rozumowania typowy dla teorii kategorii przeniknęły do wielu innych działów matematyki.

Geneza pojęcia kategoriiEdytuj

Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane swą pionierską pracę[2] z 1945 roku zaczęli od postawienia następującego problemu. Niech dana będzie (aksjomatycznie określona) n-wymiarowa przestrzeń liniowa   nad ciałem   i jej przestrzeń sprzężona   (określona jako przestrzeń wszystkich form liniowych  ). Przestrzeń   jest też n-wymiarowa, zatem musi być ona izomorficzna z   Jednakże niemożliwe jest wskazanie izomorfizmu bez dokonania arbitralnego wyboru: każdy izomorfizm   zależy od wybrania bazy w przestrzeni  [c]. Wiadomo natomiast, że przyporządkowując każdemu wektorowi   przestrzeni   funkcjonał   na   tj. element przestrzeni   określony wzorem   dla   otrzymuje się nieobarczony uznaniowym wyborem bazy, kanoniczny izomorfizm liniowy   Podobnie wśród wielu innych znanych izomorfizmów w matematyce niektóre z nich narzucają się jako kanoniczne, naturalne, czy uniwersalne. Eilenberg i Mac Lane postawili pytanie: czy można podać ścisłe, matematyczne określenie owego intuicyjnego pojęcia naturalności izomorfizmu? Aby to zrealizować, zdefiniowali najpierw pojęcie kategorii, następnie pojęcie funktora z jednej kategorii do drugiej i podali definicję naturalnej transformacji funktorów i naturalnej równoważności funktorów[d].

W teorii kategorii można wyróżnić dziś jej część ogólną, w której fundamentalne jest pojęcie funktora sprzężonego, oraz rozmaite teorie dotyczące kategorii bardziej szczegółowych, z których najważniejsze są kategorie abelowe, ściśle powiązane z algebrą homologiczną.

Wprowadzenie w pojęcie kategoriiEdytuj

Kategorie przekształceńEdytuj

Pojęcie kategorii jest uogólnieniem pojęcia grupy, w szczególności grupy przekształceń. Grupą przekształceń nazywamy dowolny zbiór   przekształceń[e] spełniających następujące warunki:

  Wszystkie przekształcenia są zdefiniowane na pewnym ustalonym zbiorze   i ich wartości też należą do  

  Jeśli przekształcenia   i   należą do   to ich złożenie   określone jako   też należy do  

  Przekształcenie tożsamościowe   z   do   należy do  

  Każde przekształcenie   należące do   jest wzajemnie jednoznaczne, tj. różnowartościowe i na   a ponadto przekształcenie odwrotne   też należy do  

Jeżeli odrzucimy warunek   to otrzymamy pojęcie półgrupy transformacji z tożsamością.

Jeżeli ponadto odrzucimy warunek   zastępując przy tym warunki   i   warunkami

  Jeśli przekształcenia   i   należą do   to ich złożenie   też należy do  

  Jeśli przekształcenie   należy do   to przekształcenia tożsamościowe   na   oraz   na   też należą do  

to otrzymamy pojęcie kategorii przekształceń. Przekształcenia należące do kategorii   nazywamy morfizmami. Jeśli   jest morfizmem, to   nazywamy obiektami, przy czym   nazywa się dziedziną lub początkiem tego morfizmu, a   jego kodziedziną lub końcem[f]. Obiektami mogą być zbiory, grupy lub inne twory matematyczne.

Aksjomatyczne ujęcie kategoriiEdytuj

Osobny artykuł: Kategoria (matematyka).

Ogólna definicja kategorii   jest aksjomatyczna, z pojęciami pierwotnymi: obiekt, morfizm, dziedzina morfizmu, kodziedzina morfizmu, składanie morfizmów. Zakłada się, że każdy morfizm   ma dziedzinę   i kodziedzinę   co zapisujemy w postaci   Złożenie takiego   z morfizmem   istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy   Przyjmuje się też odpowiednio sformułowany warunek łączności tego składania. Przy tym ujęciu każdą półgrupę   z jednością (czyli monoid) można traktować jako kategorię o jednym obiekcie. Klasę obiektów kategorii   oznaczamy symbolem  

Można też sformułować definicję kategorii inaczej, bez pojęcia obiektu, w sposób naśladujący definicję grupy, przyjmując następujące pojęcia pierwotne[g]: 1)   jest morfizmem, 2) złożenie   istnieje i jest równe   Definiuje się morfizmy tożsamościowe jako takie morfizmy   że jeśli złożenie   istnieje, to   i jeśli złożenie   istnieje, to  

Jako aksjomaty przyjmuje się prawo łączności (dostosowane do sytuacji, w której pewne morfizmy nie mają złożenia) oraz istnienie morfizmów tożsamościowych[h]. Owe tożsamości mogą zastępczo pełnić rolę obiektów[3].

W języku złożeń (bez odwoływania się do argumentów i wartości funkcji) definiuje się w teorii kategorii podstawowe pojęcia, takie jak

  • izomorfizm – jest to dowolny morfizm   dla którego istnieje morfizm odwrotny   tzn. taki, że oba złożenia   i   są odpowiednimi morfizmami tożsamościowymi,
  • monomorfizm – jest to dowolny morfizm   mający lewostronną własność skracania: jeśli   to   (w wielu przykładach kategorii są to iniekcje, funkcje różnowartościowe),
  • epimorfizm – jest to dowolny morfizm   mający prawostronną własność skracania: jeśli   to   (w wielu przykładach kategorii są to suriekcje, czyli funkcje „na”, jakkolwiek gdy morfizmami są funkcje ciągłe, to wystarczy, jeśli obrazem funkcji   jest zbiór gęsty),
  • obiekt początkowy – obiekt   o tej własności, że dla każdego obiektu   istnieje dokładnie jeden morfizm  
  • obiekt końcowy – obiekt   o tej własności, że dla każdego obiektu   istnieje dokładnie jeden morfizm   (w wielu przykładach kategorii jest to obiekt jednoelementowy),
  • obiekt zerowy – to obiekt, który jest jednocześnie początkowy i końcowy.

Obiekty początkowy i końcowy danej kategorii, o ile tylko istnieją, są wyznaczone jednoznacznie z dokładnością do izomorfizmu.

Kategoria dualna i zasada dualnościEdytuj

Każda definicja, twierdzenie i dowód w teorii kategorii ma swój odpowiednik dualny[i], otrzymany przez zamianę każdego wyrażenia typu   na   oraz zamianę w każdym morfizmie dziedziny na kodziedzinę i kodziedziny na dziedzinę, tzn. zastąpienie każdego   przez  

Do każdego pojęcia teorii kategorii można w ten sposób utworzyć pojęcie dualne. Pojęciem dualnym do monomorfizmu jest epimorfizm i odwrotnie; pojęciem dualnym do izomorfizmu jest izomorfizm. Pojęciem dualnym do obiektu początkowego jest obiekt końcowy. Jeśli pojęcie dualne nie ma nazwy, tworzy się ją, dodając przedrostek ko-.

Ponieważ aksjomaty teorii kategorii są niezmiennicze ze względu na takie zamiany, jeżeli jakieś zdanie wyrażone w terminach morfizmów i ich złożeń jest twierdzeniem teorii kategorii, to zdanie dualne, otrzymane przez opisane tu zamiany, jest też twierdzeniem, zwanym twierdzeniem dualnym.

Jeśli   jest dowolną kategorią, to jej kategorią dualną (ang. opposite category) jest kategoria   mająca te same obiekty, a jej morfizmami są morfizmy z   z formalnie zamienionymi dziedzinami z kodziedzinami i odwróconym kierunkiem wszystkich strzałek[j]. W ten sposób morfizm   w   jest dualnym odpowiednikiem morfizmu   kategorii  

Przykłady kategoriiEdytuj

Najprostszym, bardzo ważnym przykładem kategorii przekształceń jest kategoria Set. Jej obiektami są dowolne zbiory, a morfizmami dowolne funkcje   Ściślej mówiąc, morfizmem tej kategorii nie jest sama funkcja   interpretowana jako pewien zbiór par   lecz trójka   Jeśli np.   oznacza funkcję trygonometryczną zdefiniowaną na zbiorze liczb rzeczywistych   to   i   są dwoma różnymi morfizmami, bo mają różne kodziedziny. W przeciwieństwie do analizy matematycznej, przyjmuje się, że złożenie morfizmów typu   i   nie jest wykonalne; konieczne jest uwzględnienie dodatkowego pośredniego włożenia tożsamościowego   Izomorfizmami w Setbijekcje. Obiektem początkowym w Set jest zbiór pusty   bowiem dla dowolnego zbioru   istnieje tylko jedna funkcja   mianowicie funkcja pusta.

Innym przykładem jest kategoria Grp (oznaczana też Gr), której obiektami są grupy, a morfizmami – homomorfizmy grup. Jej podkategorią jest kategoria Ab grup abelowych i homomorfizmów. Mówimy, że jest to podkategoria pełna, bo ogranicza się tu jedynie klasę obiektów do grup przemiennych, a morfizmy pomiędzy obiektami tej podkategorii pozostają nadal te same. Izomorfizmami w Grpizomorfizmy grup.

W podobny sposób definiuje się wiele innych kategorii, przyjmując za obiekty zbiory wyposażone w jakieś struktury (algebraiczne, topologiczne, porządkowe). Morfizmami są wówczas jakieś odpowiednio zdefiniowane przekształcenia, związane z tymi strukturami.

Jedną z takich kategorii jest Metr, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są funkcje   spełniające warunek Lipschitza:

 

Jej podkategorią jest kategoria Metr1, której obiektami są przestrzenie metryczne, a morfizmami są odwzorowania   nierozszerzające, spełniające warunek Lipschitza ze stałą   tzn.   Nie jest to podkategoria pełna, bowiem – przeciwnie – obiekty są nadal te same, natomiast klasa morfizmów jest zawężona. Izomorfizmami w Metr1 są izometrie „na”, a izomorfizmami w Metr są bijekcje   takie, że   i   spełniają warunek Lipschitza. Można też rozpatrywać inne kategorie o tej samej klasie obiektów, np. kategorię przestrzeni metrycznych i odwzorowań ciągłych oraz kategorię przestrzeni metrycznych i odwzorowań jednostajnie ciągłych.

Pewne kategorie mają zastosowanie w teorii deterministycznych automatów skończonych, wśród nich kategoria, której obiektami są automaty Mealy’ego zdefiniowane jako ciągi   gdzie:   to zbiór sygnałów wejściowych,   – zbiór stanów wewnętrznych,   – zbiór sygnałów wyjściowych,  funkcja przejść,  funkcja wyjść,   – element zbioru   zwany stanem początkowym. Morfizmem z automatu   do automatu   nazywa się trójka funkcji       spełniająca pewne naturalne warunki[4].

FunktoryEdytuj

Osobny artykuł: Funktor (teoria kategorii).

Funktor to odwzorowanie   z jednej kategorii   w drugą   pełniące jakby rolę homomorfizmu wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

W obu przypadkach każdemu obiektowi   kategorii   przyporządkowuje się obiekt   kategorii   (jest to przyporządkowanie obiektowe funktora), a każdemu morfizmowi   pierwszej kategorii przyporządkowuje się morfizm   drugiej kategorii (jest to przyporządkowanie morfizmowe funktora). Ponadto funktory obu typów zachowują złożenie morfizmów, a morfizmy tożsamościowe pierwszej kategorii przyporządkowują odpowiednim morfizmom drugiej, a mianowicie  

Funktor kowariantny zachowuje kierunek strzałek. Taki funktor   każdemu morfizmowi   kategorii   przyporządkowuje morfizm   kategorii   zachowuje też złożenie dowolnych morfizmów     mianowicie

 

Funktor kontrawariantny zamienia kierunki strzałek na przeciwne. Taki funktor   każdemu morfizmowi   kategorii   przyporządkowuje morfizm   kategorii   zachowuje też złożenie dowolnych morfizmów     odwracając kolejność składania:

 

Przykłady funktorówEdytuj

Dla dowolnego zbioru   oznaczmy przez   jego zbiór potęgowy (tj. zbiór wszystkich podzbiorów zbioru  ) oraz oznaczmy:

   i   

Jeżeli   jest dowolnym morfizmem w Set, oznaczmy przez

  

przekształcenia określone następująco: jeśli   (tzn.  ), to   przyporządkowuje zbiorowi   jego obraz   należący do  
Jeśli   to   przyporządkowuje zbiorowi   jego przeciwobraz   należący do   Określa to dwa funktory: funktor kowariantny

  oraz funktor kontrawariantny  

Jeśli   jest przestrzenią metryczną, niech   oznacza jej uzupełnienie (kanoniczne zanurzenie w przestrzeń przestrzeń zupełną, skonstruowane np. przez klasy równoważności ciągów Cauchy’ego). Przyporządkowując każdemu morfizmowi   kategorii Metr jego kanoniczne rozszerzenie   do uzupełnień przestrzeni   dostajemy funktor kowariantny z Metr do jej podkategorii pełnej przestrzeni zupełnych.

Niech Vect  oznacza kategorię przestrzeni wektorowych nad ciałem   rozważanych powyżej. Jeżeli przestrzeni   przyporządkujemy jej przestrzeń sprzężoną   to prowadzi to do funktora kontrawariantnego z Vect  do Vect , który każdemu operatorowi liniowemu   przyporządkuje operator do niego sprzężony   określony wzorem   dla   Wówczas w szczególności jeśli   i   są operatorami liniowymi, to  

Jeżeli przestrzeni   przyporządkujemy jej drugą przestrzeń sprzężoną   a operatorowi liniowemu   przyporządkujemy operator drugi sprzężony   otrzymujemy funktor kowariantny.

Niech Comp oznacza kategorię przestrzeni zwartych (Hausdorffa) i przekształceń ciągłych. Jeśli   jest obiektem tej kategorii, niech   oznacza przestrzeń Banacha wszystkich skalarnych (tj. o wartościach w   bądź w  ) funkcji ciągłych określonych na   z działaniami określonymi punktowo i normą daną wzorem   Niech Ban1 oznacza kategorię przestrzeni Banacha i operatorów liniowych   o normie   Jeśli   jest morfizmem w Comp, to przez   oznaczmy operator liniowy z   do   przyporządkowujący funkcji   złożenie   należące do   Wyznacza to funktor kontrawariantny z Comp do Ban1[5].

Funktor dualizacji z danej kategorii   do jej kategorii dualnej   (lub odwrotnie) przyporządkowuje każdemu obiektowi A ten sam obiekt, a każdemu morfizmowi jego dualny odpowiednik. Pozwala to na inne wysłowienie definicji funktora kontrawariantnego. Można mianowicie przyjąć, że funktor kontrawariantny z kategorii   do   to funktor kowariantny z kategorii   do  [k][6][7]. W ogólnej teorii kategorii upraszcza to wysłowienie wielu definicji i twierdzeń, a także unifikuje dowody. Jednakże stosując funktory do konkretnych przykładów kategorii w algebrze, topologii czy analizie funkcjonalnej, poręczniej jest na ogół mówić o funktorach kontrawariantnych niż rozpatrywać sztuczne twory takie jak funkcja, której dziedzinę zaczynamy nazywać kodziedziną i odwrotnie (np. w kategorii Setop funkcja trygonometryczna   wyznacza morfizm z   do  ).

Program Eilenberga-Mac Lane’aEdytuj

Eilenberg i Mac Lane powołali się na Program erlangeński Felixa Kleina: przy klasyfikowaniu dziedzin geometrii i własności geometrycznych figur podstawową rolę powinno odgrywać badanie rozmaitych grup przekształceń i tych własności, które nie ulegają zmianie przy dowolnym przekształceniu z danej grupy. Są to niezmienniki danej grupy przekształceń (takich jak podobieństwo, izometria, przekształcenie liniowe, przekształcenie afiniczne itp.).

W programie Eilenberga-Mac Lane’a dawna rola grup przekształceń zostaje rozszerzona na rozmaite kategorie. Postuluje się, że jeśli definiujemy obiekty jakiejś teorii matematycznej, to powinniśmy zastanowić się, czy nie ujawniają się tam też związane z tym morfizmy i funktory[2][8][9]. Okazuje się, że w wielu sytuacjach otwiera to nowe perspektywy poznawcze, wzbogaca rozumienie badanych obiektów.

W szczególności jeśli to zalecenie zastosować do funktorów, otrzymujemy kategorię wyższego rzędu: jej obiektami są funktory, a morfizmami są transformacje naturalne funktorów.

Zbiory częściowo uporządkowane jako kategorieEdytuj

Niech   oznacza pewien zbiór częściowo uporządkowany przez relację   przy czym   wtedy i tylko wtedy, gdy   oraz   Wówczas tworzymy kategorię   której obiektami są elementy zbioru   Jeśli     oraz   to przyjmujemy, że jest dokładnie jeden morfizm   z   do  [l]; jeśli ta relacja nie zachodzi, to przyjmujemy, że nie ma żadnego morfizmu z   do   Jeśli   i   to   zatem jedyny morfizm   jest złożeniem morfizmów   i   Ponieważ   więc   jest tożsamością na obiekcie   Tak więc przechodniość tej relacji odpowiada składaniu morfizmów, a zwrotność relacji   odpowiada morfizmowi tożsamościowemu[m].

Obiektem początkowym w   jest element najmniejszy (jeśli istnieje w  ), a obiektem końcowym jest element największy. Kategorią dualną do   jest kategoria   powstała z tego samego zbioru   po zamianie porządku na odwrotny  

Jeżeli zbiory   i   są częściowo uporządkowane, to funkcja   jest przyporządkowaniem obiektowym funktora kowariantnego z kategorii   do kategorii   wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja   jest monotoniczna, tzn. z nierówności   wynika  

Trudności związane z antynomiami teorii mnogościEdytuj

Eilenberg i Mac Lane[2] rozważali trudność związaną z definicją pojęcia kategorii, polegającą na tym, że zdania typu „kategoria wszystkich zbiorów” czy „kategoria wszystkich grup”, rozpatrywane w naiwnej teorii zbiorów prowadzą do znanej antynomii zbioru wszystkich zbiorów. Przedstawili kilka opcji ujmowania teorii kategorii w ramach podstaw matematyki (i również dodatkową opcję, przyjętą przez wielu matematyków – rozwijanie teorii bez zwracania uwagi na trudności logiczne). Jedną z opcji, początkowo przeważającą, było oparcie się na systemie NBG von Neumanna-Bernaysa-Gödla aksjomatów teorii mnogości.

W systemie NBG wyróżnia się zbiory i klasy. Każdy zbiór jest klasą, ale nie na odwrót. Klasa może być elementem innej klasy wtedy i tylko wtedy, gdy jest zbiorem. Klasa, która nie jest zbiorem, nazywa się klasą właściwą. W tym systemie można mówić np. klasa (właściwa) wszystkich zbiorów, klasa wszystkich grup. Jeżeli klasa obiektów i klasa morfizmów kategorii   są zbiorami, to mówimy wówczas, że jest to kategoria mała, np. kategoria   wyznaczona przez zbiór częściowo uporządkowany   z relacją   jest mała.

System NBG wystarcza do takich kategorii, jak te omawiane powyżej. Jednakże rozwój teorii prowadził do definiowania nowych pojęć, wymagających coraz wyższych pięter w hierarchiach teorii mnogości. Potrzebne były systemy teorii mnogości z silniejszymi aksjomatami niż zwykły ZF lub ZFC. Najczęściej wykorzystuje się uniwersa Grothendiecka. Przez uniwersum rozumie się zbiór   zamknięty ze względu na podstawowe operacje mnogościowe, zawierający zbiór   liczb naturalnych i taki że   pociąga   oraz jeżeli   jest suriekcją,   i   to   Gdy takie   jest wybrane i ustalone, to każdy element   nazywa się małym zbiorem, a Grp jest kategorią małych grup[10]. Istnienie uniwersum Grothendiecka jest równoważne istnieniu dużych liczb kardynalnych, silnie nieosiągalnych[11].

Kategorie Set, Grp, Metr, Comp, Ban1 i podobne nie są małe, ale mają tę własność, że dla dowolnych jej obiektów   klasa morfizmów z   do   jest zbiorem[n].

Użycie języka diagramów przemiennychEdytuj

Ważną cechą rozumowań kategoryjnych, które można stosować również bez abstrakcyjnego pojęcia kategorii, jest wykorzystywanie diagramów przemiennych. Mianowicie jeżeli rozpatrujemy graf skierowany i kategorię   to możemy utworzyć diagram, przypisując każdemu wierzchołkowi grafu jakiś obiekt   tej kategorii, a każdemu łukowi wiodącemu od wierzchołka   do   przypisując morfizm   Taki diagram nazywamy przemiennym, jeżeli dla każdej pary wierzchołków   i dla każdych dwóch ścieżek na diagramie wiodących z   do   odpowiednie dwa złożenia kolejnych morfizmów są równe. Definicja ta obejmuje też przypadek   wówczas złożenie morfizmów wzdłuż pętli z   do   ma być tożsamością[12]. Nieraz się też mówi, że taki diagram komutuje. Warto przy tym odróżniać schemat diagramowy, składający się z samych wierzchołków i skierowanych łuków, od diagramu, w którym tym wierzchołkom i łukom przypisane są jakieś obiekty i morfizmy.

Zbiory częściowo uporządkowane jako schematy diagramoweEdytuj

Jeżeli   jest kategorią utworzoną ze zbioru   z relacją   to każdy funktor kowariantny z tej kategorii do danej kategorii   może być interpretowany jako diagram przemienny. Kategoria   pełni tu rolę schematu diagramowego, a diagramem jest ów funktor.

Szczególnie przydatne są zbiory reprezentujące liczby naturalne skonstruowane metodą von Neumanna. Są to mianowicie zbiory     
ω 

Zbiór   z naturalnym uporządkowaniem stanowi kategorię o trzech obiektach   i trzech morfizmach spełniających warunek   co można przedstawić na diagramie trzech strzałek tworzących trójkąt.

Zbiór ω liczb naturalnych prowadzi do schematu diagramowego   w którym oprócz widocznych strzałek są też ich złożenia   dla   oraz tożsamości  

Iloczyn kartezjański   ma cztery elementy, które można interpretować jako cztery punkty w układzie współrzędnych. Wprowadzając naturalny częściowy porządek   gdy   i   dostajemy     oraz   W ten sposób   staje się schematem diagramowym dla najczęstszej formy diagramu o kształcie kwadratu. Jeżeli mamy morfizmy         to przemiennośc tego diagramu znaczy, że  

Zwyczajowo diagramy rysuje się z góry w dół, tak jak przy pisaniu na kartce. Obiekty   i morfizmy     na sąsiednim rysunku można interpretować jako wartości pewnego funktora   z kategorii   Z definicji funktora wynika, że musi być spełniony warunek   toteż na diagramie można dorysować strzałkę przekątniową  

Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacjiEdytuj

Szczególnie ważnym typem rozumowań diagramowych są rozmaite zagadnienia związane z bardzo ogólnym pojęciem jednoznacznej faktoryzacji, które objaśnimy na przykładach. Postępowanie tu opisane jest z jednej strony wzorcem wielu ważnych definicji ogólnej teorii kategorii, a z drugiej bywa stosowane w wielu dziedzinach matematyki bez odwoływania się do pojęcia kategorii.

Produkty i koproduktyEdytuj

Iloczynem kartezjańskim zbiorów   i   nazywamy zbiór   złożony ze wszystkich par uporządkowanych   takich, że   i   Jest to konstrukcja obiektu   wyrażona w języku teorii mnogości.

Kategoryjnym odpowiednikiem tego pojęcia jest ogólne pojęcie produktu dwóch obiektów w kategorii   zdefiniowane w języku diagramów. Specyficzną cechą tej definicji jest to, że nie podaje się sposobu konstruowania produktu, a jedynie warunek, jaki ma spełniać produkt. Definicja ta nie orzeka, czy taki obiekt istnieje (natomiast w przypadku istnienia wystarcza do dowodu jednoznaczności).

Produktem obiektów   w   nazywamy obiekt   wraz z parą morfizmów   i   spełniających następujący warunek: dla dowolnego obiektu   i dowolnej pary morfizmów     istnieje jeden i tylko jeden morfizm   taki, że odpowiedni diagram jest przemienny, tzn.   oraz   Morfizmy   nazywane są rzutami (lub rzutami kanonicznymi). Produkt   jest oznaczany symbolem  

Jest oczywiste, że jeżeli   jest produktem i obiekt   jest izomorficzny z   to   wraz z odpowiednio zdefiniowanymi rzutami   i   jest też produktem pary   Z tego powodu jedyne, czego od takiej definicji można oczekiwać, to jednoznaczność z dokładnością do izomorfizmu. Otóż standardowe rozumowanie pokazuje, że jeżeli produkt   pary   istnieje, to każdy inny product tej pary jest z nim izomorficzny.

Definicja produktu rodziny obiektów   (indeksowanej elementami dowolnego zbioru  ) w kategorii   jest analogiczna do przypadku dwóch obiektów. Obejmuje to też przypadek, gdy   jest zbiorem pustym; okazuje się, że produktem jest wtedy obiekt końcowy kategorii[3].

Typowe przykłady produktów:

  • W kategorii Set produktem zbiorów   i   jest iloczyn kartezjański   wraz z rzutami   i   Produktem    dowolnej rodziny zbiorów   jest uogólniony iloczyn kartezjański[13].
  • W kategoriach Grp i Ab produktem grup   i   jest ich iloczyn kartezjański z działaniem określone wzorem   dla     Analogicznie konstruuje się produkty nieskończonych rodzin grup, a także algebr ogólnych tego samego typu[14].
  • W kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych i w jej podkategorii pełnej Comp przestrzeni zwartych (Hausdorffa) produkt jest iloczynem kartezjańskim przestrzeni z topologią produktową, zwanej topologią Tichonowa[15].
  • W kategorii Ban1 przestrzeni Banacha i operatorów liniowych   o normie   produktem rodziny   jest ich  -produkt, tzn. przestrzeń   złożona z tych elementów     które spełniają warunek   Wówczas (domknięta) kula jednostkowa w   jest iloczynem kartezjańskim kul jednostkowych przestrzeni  [16].
  • W kategorii   utworzonej ze zbioru częściowo uporządkowanego produktem elementów   jest ich infimum   z rzutami wyznaczonymi przez    

Pojęciem dualnym do produktu jest koprodukt, zwany również sumą

lub sumą prostą[17]. Koproduktem obiektów   w   nazywamy

obiekt   wraz z parą morfizmów   i   spełniających następujący warunek: dla dowolnego obiektu   i dowolnej pary morfizmów     istnieje jeden i tylko jeden morfizm   taki, że odpowiedni diagram jest przemienny. Morfizmy   nazywane są włożeniami (lub włożeniami kanonicznymi). Obiekt   bywa też oznaczany symbolem  

W przeciwieństwie do produktów, które w typowych kategoriach przekształceń są na ogół powiązane z iloczynem kartezjańskim, koprodukty w tych samych kategoriach są bardzo różnorodne.

  • W kategorii Set koproduktem rodziny zbiorów rozłącznych   jest ich suma mnogościowa    Jeśli nie są rozłączne, to się je sztucznie rozłącza np. przez indeksowanie, tworząc sumę rozłączną    tzn. zbiór wszystkich par postaci   gdzie     wraz z iniekcjami   dla  
  • W kategorii Top koproduktem jest też suma rozłączna, z topologią określoną tak, że każdy składnik   (bądź  ) jest zbiorem domknięto-otwartym[18].
  • W Comp w przypadku rodziny nieskończonej koprodukt jest uzwarceniem Čecha-Stone’a sumy rozłącznej[19].
  • W kategoriach Grp koproduktem grup jest ich produkt wolny (czyli suma prosta), również w przypadku nieskończonej rodziny obiektów[17].
  • W kategorii Top  przestrzeni topologicznych   z wyróżnionymi punktami bazowymi   i przekształceń ciągłych zachowujących punkty bazowe oraz w jej podkategorii pełnej Comp  przestrzeni zwartych koproduktem obiektów   i   jest przestrzeń   złożona z wszystkich par postaci   i wszystkich par   z punktem bazowym  
  • W kategorii Ab koproduktami są sumy proste grup[20].
  • W kategorii Ban1 przestrzeni Banacha i operatorów liniowych T o normie   koproduktem rodziny   jest ich  -suma, tzn. przestrzeń E złożona z tych elementów     które spełniają warunek    
  • W kategorii   utworzonej ze zbioru częściowo uporządkowanego koproduktem elementów   jest ich supremum  

Grupy wolneEdytuj

Grupą wolną   generowaną przez jej podzbiór   nazywamy grupę o tej własności, że każda funkcja z   w zbiór elementów dowolnej grupy   ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu grup   Podzbiór   nazywa się zbiorem wolnych generatorów. Grupą wolną o jednym generatorze jest grupa   liczb całkowitych (generatorem może być liczba 1 lub liczba –1). Dla dowolnego zbioru   konstruuje się grupę zawierającą ten zbiór   jako zbiór wolnych generatorów – produkt wolny odpowiedniej liczby kopii grupy  [14][21]. Jest to definicja wyrażona w języku teorii mnogości.

Zamienimy ją teraz na równoważną definicję wyrażoną w języku diagramów. Zamiast mówić o podzbiorze   grupy   będziemy mówić o iniekcji   (jej obraz   pełni tę rolę, co zbiór   uprzednio). Grupa wolna generowana przez zbiór   jest to grupa   wraz z iniekcją   taka, że dla dowolnej grupy   i dowolnej funkcji   istnieje jeden i tylko jeden homomorfizm   (w Grp) taki, że powstały diagram jest przemienny, tzn.   Dowodzi się bardzo prosto, że jeżeli dla danego   istnieje grupa wolna   generowana przez   to jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do komutującego izomorfizmu, tzn. jeśli   i iniekcja   też ma taką własność, to istnieje (jednoznaczny) izomorfizm grup   taki, że odpowiadający diagram jest przemienny, tzn.   W podobny sposób dowodzi się, że grupa wolna jest wyznaczona (z dokładnością do izomorfizmu) przez liczbę kardynalną zbioru  

ReflektoryEdytuj

Niech   oznacza dowolną kategorię,   jej podkategorię i niech   będzie obiektem w   Przez reflekt obiektu   względem   rozumiemy dowolny morfizm   kategorii   taki, że   jest obiektem podkategorii   i dla każdego obiektu   i każdego morfizmu   kategorii   istnieje dokładnie jedna faktoryzacja w   tzn. dokładnie jeden morfizm   kategorii   taki, że diagram jest przemienny:   Pokazuje się łatwo, że jeżeli taki reflekt istnieje, to jest wyznaczony jednoznacznie z dokładnością do  -izomorfizmu.

Jeżeli każdemu obiektowi   przyporządkujemy reflekt   gdzie   to dla każdego morfizmu   kategorii   istnieje dokładnie jeden morfizm   Otrzymujemy w ten sposób funktor kowariantny   Funktor tak skonstruowany nazywamy reflektorem[22].

Przykłady reflektorów:

  • Niech Metrzup oznacza podkategorię pełną kategorii Metr otrzymaną przez ograniczenie się do przestrzeni metrycznych zupełnych. Przyporządkowując każdej przestrzeni metrycznej   jej uzupełnienie   utworzone metodą Cantora, otrzymujemy reflektor z Metr do Metrzup. Każdy morfizm w Metr (tzn. przekształcenie spełniające warunek Lipschitza)   ma jednoznaczne przedłużenie   do uzupełnień przestrzeni.
  • Niech   będzie dowolną grupą. Niech   oznacza jej komutant, tj. podgrupę normalną generowaną przez zbiór wszystkich komutatorów   Wówczas homomorfizm kanoniczny   wyznacza reflektor z Gr do Ab. Jest to abelianizacja grupy[23].
  • Niech Rin oznacza kategorię pierścieni i ich homomorfizmów i niech Rinc oznacza jej podkategorię pełną pierścieni przemiennych. Niech   oznacza ideał dwustronny pierścienia   generowany przez komutatory   Wówczas pierścień ilorazowy   jest przemienny i homomorfizm kanoniczny   wyznacza reflektor z Rin do Rinc[24].
  • Funktor Čecha-Stone’a     przyporządkowuje dowolnej przestrzeni topologicznej   jej kompaktyfikację   Istnieje przekształcenie ciągłe   mające tę własność, że dla każdej przestrzeni zwartej   i każdego przekształcenia ciągłego   istnieje dokładnie jedno przekształcenie ciągłe   takie, że   Funktor   jest więc reflektorem. Jeśli   nie jest przestrzenią Tichonowa, to przekształcenie ciągłe   nie jest zanurzeniem homeomorficznym, w szczególności skleja ono punkty, które nie oddzielone żadną funkcją rzeczywistą ciągłą[25][26].

Zobacz teżEdytuj

UwagiEdytuj

  1. Pojęcie funktora i naturalnej transformacji funktorów w przypadku kategorii grup przedstawili Eilenberg i Mac Lane w swej pracy Natural isomorphisms in group theory, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 28 (1942), s. 537–543. Dojrzałą, aksjomatyczną teorię kategorii przedstawili w 1945 roku.
  2. Mac Lane podaje w zarysie, jak za pomocą kilku dodatkowych aksjomatów zdefiniować kategorię zwaną elementarnym toposem, a następnie jak w takim toposie skonstruować m.in. liczby naturalne, algebry Boole’a i algebry Heytinga (S. Mac Lane, Mathematics. Form and Function, New York: Springer 1986, Chapter XI), https://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics,_Form_and_Function.
  3. Izomorfizmu   oraz   można dowieść, wskazując ich izomorfizmy z przestrzenią współrzędnych   (por. pojęcie bazy dualnej).
  4. Nazwy kategoria i funktor były wcześniej używane przez matematyków w innych znaczeniach: w topologii kategorie Baire’a oraz w rachunku zdań funktory zdaniotwórcze.
  5. W zasadzie ogólne terminy: przekształcenie (ze zbioru w zbiór), funkcja, odwzorowanie, transformacja uznajemy tu za synonimy, a wybór, którego z nich się użyje, zależy od kontekstu i zwyczaju. Słowo „funkcja” rozumiemy tu w ogólnym sensie (por. np. Witold Kołodziej: Analiza matematyczna, PWN, Warszawa 2009, s. 31).
  6. Kodziedzina zawiera zbiór wartości danego przekształcenia. Mac Lane używa terminów: domain i codomain, ale bywaja też używane terminy: source and target (https://en.wikipedia.org/wiki/Category_theory).
  7. Definicję tę sformułował S. Mac Lane, „Duality for groups”, Bulletin of the American Mathematical Society 56 (1950), 485-516, s. 495 [1].
  8. Oto sformułowanie tej łączności: jeśli   i   istnieją, to   i   również istnieją i są równe; jeśli   istnieje, to   istnieje; jeśli   istnieje, to   istnieje. Istnienie tożsamości znaczy, że dla każdego morfizmu   istnieją tożsamości   i   takie, że   i   istnieją.
  9. Pojęcia te wprowadził S. Mac Lane w cytowanej powyżej pracy „Duality for groups”.
  10. To nie są morfizmy odwrotne do morfizmów z   bowiem na ogół te morfizmy nie są odwracalne. Zamiana kierunku strzałek i zamiana dziedziny z kodziedziną jest zabiegiem umownym, czysto formalnym.
  11. Przejścia od funktora kontrawariantnego do kowariantnego można dokonać na dwa sposoby. Mianowicie jeśli   jest funktorem kontrawariantnym, to wyznacza on dwa funktory kowariantne:   określony jako złożenie   oraz   określony jako złożenie   (H. Schubert, Categories, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 1972, 2.4.5). Jest to użyteczne m.in. w teorii funktorów sprzężonych. W grę wchodzi jeszcze czwarty funktor   określony jako złożenie  
  12. Za morfizm ten możemy uznać np. parę  
  13. Tę kategorię można utożsamić z pewną kategorią przekształceń. Wystarczy oznaczyć   Wówczas   wtedy i tylko wtedy, gdy   Otrzymujemy kategorię przekształceń, mianowicie zanurzeń tożsamościowych  
  14. Niektórzy autorzy (m.in. M. Zawadowski, Elementy teorii kategorii) nazywają takie kategorie lokalnie małymi, inni zaś (np. Z. Semadeni i A. Wiweger, Wstęp do teorii kategorii i funktorów) za lokalnie małe uważają kategorie, które mają tę własność, że każdy obiekt A ma małą klasę podobiektów, tzn. istnieje zbiór   monomorfizmów o kodziedzinie A taki, że każdy monomorfizm o kodziedzinie A jest równoważny jakiemuś morfizmowi z   Kategorie o tej własności Mac Lane nazywa well-powered i ponadto – właśnie z uwagi tę znaną niezgodność terminologii – w ogóle nie używa terminu „lokalnie mała” (S. Mac Lane, Categories for the working mathematician, s. 126–127).

PrzypisyEdytuj

  1. Mac Lane 1971 ↓, s. 29.
  2. a b c Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, General Theory of Natural Equivalences, Transactions of the American Mathematical Society, 58: 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf.
  3. a b Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 3.3.2.
  4. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 2.4.7.
  5. Semadeni 1971 ↓, Rozdział 3 § 6.
  6. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 2.3.
  7. Mac Lane 1971 ↓, s. 7–10.
  8. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 1.8.4.
  9. Semadeni 1971 ↓, # 10.4, s. 12.
  10. Mac Lane 1971 ↓, Chapter I, # 6. Foundations.
  11. Wojciech Guzicki, Paweł Zbierski, Podstawy teorii mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978; https://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_universe.
  12. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 1.7. Diagramy. Grafy skierowane.
  13. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 3.3.6.
  14. a b Białynicki-Birula 1987 ↓, s. 118.
  15. Engelking 1975 ↓, Rozdz. 2, # 3.
  16. Semadeni 1971 ↓, s. 118.
  17. a b Lang 1984 ↓, § 8. Grupy wolne; § 9. Sumy proste i grupy abelowe wolne.
  18. Engelking 1975 ↓, Rozdział 2 § 2.
  19. Engelking 1975 ↓, Rozdział 3 § 6.
  20. Białynicki-Birula 1987 ↓, s. 39, 75.
  21. Lang 1984 ↓, § 8. Grupy wolne.
  22. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 3.2. Reflektory i quasi-reflektory.
  23. Białynicki-Birula 1987 ↓, Rozdział II, § 7.
  24. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 3.2, przykład 3.2.7.
  25. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, § 3.2, zadanie 3.2.15.(L).
  26. Semadeni 1971 ↓, § 14.

BibliografiaEdytuj

Linki zewnętrzneEdytuj