Dowód (matematyka)

wykazanie prawdziwości zdania

Dowód – wykazanie, że pewne zdanie jest prawdziwe. Dowód należy odróżnić od empirycznego lub heurystycznego rozumowania. Każdy krok dowodu musi jasno wynikać z poprzednich lub być przyjętym aksjomatem; rozumowanie niespełniające tego warunku nie jest dowodem. Ostatni krok dowodu to udowodnione zdanie, które w ten sposób staje się twierdzeniem danej teorii. Zwyczajowo koniec dowodu oznacza się skrótem q.e.d. (quod erat demonstrandum), c.n.d. (co należało dowieść), c.b.d.o. (co było do okazania) lub podobnym.

Metody dowodu edytuj

O ile nie istnieje żaden wyczerpujący podział dowodów, można wyróżnić niektóre metody używane w dowodach:

  • Dowód wprost polegający na przyjęciu założeń i bezpośrednim wykazaniu tezy. Przykład: udowodnimy, że suma dwóch liczb parzystych jest liczbą parzystą. Wiemy, że liczby parzyste to takie, które można zapisać w postaci   gdzie   jest całkowite; suma dwóch liczb parzystych wynosi   co jest również liczbą parzystą, c.n.d.
  • Dowód nie wprost (dowód apagogiczny) polegający na przyjęciu, że twierdzenie jest fałszywe i wykazaniu, że dochodzi się do niedorzeczności. Przykładem może być dowód niewymierności pierwiastka z dwóch: załóżmy, że   jest liczbą wymierną, jednak to założenie prowadzi do sprzeczności.
  • Dowód kombinatoryczny to specyficzny rodzaj dowodu używany przy tożsamościach kombinatorycznych, zwykle polegający na policzeniu możliwości ustawień na dwa sposoby. Przykład: Udowodnimy, że dla   zachodzi   Wyobraźmy sobie, że mamy wybrać   spośród   osób. Możemy to zrobić na   sposobów. Możemy wyróżnić jedną z osób, nazwijmy ją X. Jeżeli wybierzemy X-a, to pozostanie nam   sposobów na wybranie pozostałych osób. Jeżeli nie wybierzemy X-a, to pozostanie nam   sposobów. Te możliwości są wyczerpujące i rozłączne; zatem  
 
Geometryczny dowód twierdzenia Pitagorasa

W złożonych, wielostopniowych dowodach wykorzystuje się twierdzenia pomocnicze, tzw. lematy.

Rola dowodu matematycznego edytuj

Dowód matematyczny może przyjmować następujące role:

  1. rola weryfikacyjna (pozwala stwierdzić poprawność hipotezy)[1];
  2. rola wyjaśniająca (pozwala znaleźć powód dla którego dane twierdzenie jest prawdziwe)[1];
  3. rola wyjaśniająca (pozwala uzyskać społeczną aprobatę)[1];
  4. rola systemacyzacyjna (pozwala uporządkować różne wyniki zgodnie z systemem głównych pojęć i twierdzeń)[1];
  5. rola komunikacyjna (pozwala przekazywać innym gotowe wyniki i obserwacje)[1];
  6. rola estetyczna (pozwala dane rozumowanie zapisać w sposób elegancki i klarowny)[1];
  7. rola satysfakcjonująca (pozwala odczuć satysfakcję, radość, dumę i uczucie odniesienia sukcesu po skutecznym przeprowadzeniu dowodu)[1];
  8. rola transferowa (pozwala zachować techniki dowodowe, które mogą okazać się przydatne w dowodzeniu lub zrozumieniu innych twierdzeń)[1].

Dowód formalny edytuj

W teorii sformalizowanej dowód przyjmuje ścisłą formę tak zwanego dowodu formalnego, który jest skończonym ciągiem wyrażeń   ustalonego języka sformalizowanego, takim że dla każdego   jest aksjomatem lub   jest wnioskiem z przesłanek   (gdzie  ) wyprowadzonym przez zastosowanie przyjętej reguły dedukcyjnej.

Jeżeli dany ciąg   jest dowodem formalnym przy zbiorze aksjomatów   to mówi się, że jest to dowód formalny dla   z   oraz że   da się dowieść z  


Dowodem formuły   w oparciu o zbiór formuł   nazywamy każdy skończony ciąg formuł   taki, że   (czyli ostatnia formuła w tym ciągu jest identyczna z formułą dowodzoną) oraz dla każdego wskaźnika     spełniony jest przynajmniej jeden z nastepujących warunków:

  •    (czyli formuła   może być wzięta ze zbioru, w oparciu o który dowód jest prowadzony);
  • istnieją: wskaźnik    , formuła   oraz wskaźnik   takie, że   (czyli   powstaje z pewnej wcześniejszej formuły   przez zastosowanie reguły podstawiania);
  • istnieją takie  , że   oraz   (czyli   podstaje z pewnych wcześniejszych formuł   oraz   przez zastosowanie reguły odrywania reguły odrywania)


Zobacz też edytuj

Przypisy edytuj

  1. a b c d e f g h Anna K. Żeromska, Metodologia matematyki jako przedmiot badań antropomatematycznych, Wydawnictwo Uniwersytetu Pedagogicznego w Krakowie, Kraków 2013, s. 58.

Linki zewnętrzne edytuj