Parzystość liczb

Parzystość liczb – cecha liczb całkowitych równoznaczna z ich podzielnością przez 2.

Każdą liczbę parzystą można przestawić jako $2k$ dla pewnego całkowitego $k$, przez co ich zbiór ma postać:

$\left\{2k\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-6,-4,-2,0,2,4,6,\dots \right\}.$

Pozostałe liczby całkowite nazywa się nieparzystymi. Każdą z nich można przestawić jako $2k+1$ dla pewnego całkowitego $k$; zbiór liczb nieparzystych ma więc postać:

$\left\{2k+1\colon \,k\in \mathbb {Z} \right\}=\left\{\dots ,-5,-3,-1,1,3,5,\dots \right\}.$

Własności

• suma i różnica dwóch liczb o tej samej parzystości jest liczbą parzystą,
  • parzysta ± parzysta = parzysta; bo $2k\pm 2l=2(k\pm l).$
  • nieparzysta ± nieparzysta = parzysta; bo $(2k+1)+(2l+1)=2(k+l+1)$ i $(2k+1)-(2l+1)=2(k-l).$
• suma i różnica dwóch liczb o różnej parzystości jest liczbą nieparzystą,
  • parzysta ± nieparzysta = nieparzysta; bo $2k+(2l+1)=2(k+l)+1$ i $2k-(2l+1)=2(k-l)-1.$
  • nieparzysta ± parzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\pm 2l=2(k\pm l)+1.$
• iloczyn dwóch liczb nieparzystych jest liczbą nieparzystą,
  • nieparzysta · nieparzysta = nieparzysta; bo $(2k+1)\cdot (2l+1)=2(2kl+k+l)+1.$
• iloczyn dwóch liczb całkowitych, z których co najmniej jedna jest parzysta, jest liczbą parzystą,
  • parzysta · parzysta = parzysta; bo $2k\cdot 2l=2(2kl).$
  • parzysta · nieparzysta = parzysta; bo $2k\cdot (2l+1)=2(2kl+k).$
  • nieparzysta · parzysta = parzysta; bo $(2k+1)\cdot 2l=2(2kl+l).$

W algebrze abstrakcyjnej mówi się, że liczby parzyste należą do ideałów pierścienia liczb całkowitych.