Funkcja jednostajnie ciągła

Jednostajna ciągłość – własność funkcji określonych między przestrzeniami metrycznymi będąca wzmocnieniem pojęcia ciągłości.

DefinicjaEdytuj

Niech   i   będą przestrzeniami metrycznymi oraz niech  

Funkcję   nazywamy jednostajnie ciągłą, gdy dla każdego   istnieje takie   że dla wszelkich   zachodzi nierówność   o ile tylko   Formalnie:

 

Powyższa charakteryzacja typu Cauchy’ego ma też swój odpowiednik typu Heinego. Mianowicie funkcja   jest jednostajnie ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych dwóch ciągów   zachodzi:  

Jeżeli przestrzenią metryczną jest zbiór liczb rzeczywistych   ze standardową metryką euklidesową   dla   to jednostajną ciągłość funkcji   gdzie   jest przedziałem liczb rzeczywistych, można formalnie zapisać

 

Własności funkcji jednostajnie ciągłychEdytuj

  • Każda funkcja jednostajnie ciągła jest ciągła.
Dowód. Jeśli   jest odwzorowaniem między dwiema przestrzeniami metrycznymi   i   to ciągłość   oznacza, że dla każdego punktu   i każdego   takie istnieje   (indeks dolny przy   oznacza, że liczba ta zależy od   i  ) taka, że obraz   kuli   o środku   i promieniu   zawiera się w kuli o środku   i promieniu   Jednostajna ciągłość   oznacza, że dla każdego   istnieje takie   że obraz   dowolnej kuli   o promieniu   zawiera się w kuli o promieniu   Jednostajna ciągłość to zatem warunek silniejszy niż ciągłość.
  • Jeśli   jest ciągiem Cauchy’ego elementów przestrzeni   oraz   jest jednostajnie ciągła, to ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni  
Dowód. Niech   Na mocy jednostajnej ciągłości   istnieje taka liczba   że dla dowolnych   spełniających warunek   zachodzi oszacowanie   Skoro   jest ciągiem Cauchy’ego, to istnieje taka liczba naturalna   że dla   zachodzi   a zatem   dla   Dowodzi to, że ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego w przestrzeni    
Twierdzenie to jest kryterium pozwalającym sprawdzić, czy dana funkcja nie jest jednostajnie ciągła. Np. niech   będzie funkcją daną wzorem   Wówczas ciąg   jest ciągiem Cauchy’ego, jednak   czyli ciąg   nie jest ciągiem Cauchy’ego w   Wobec powyższego   nie jest jednostajnie ciągła.
  • Niech   będzie całkowicie ograniczoną przestrzenią metryczną (np.   jest ograniczonym przedziałem liczb rzeczywistych). Wówczas każda funkcja jednostajnie ciągła   jest ograniczona.
Dowód. Dla   niech   będzie takie, iż dla dowolnych   spełniających warunek   zachodzi oszacowanie   Niech   będzie ciągiem kul otwartych o promieniu   których suma jest równa   Niech   będzie środkiem   Niech  
Ustalmy   Wówczas   dla pewnego   Ostatecznie
 
co dowodzi ograniczoności    
Dowód. Niech   będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą   Niech   oraz niech dany będzie   Gdy   to   o ile tylko    
  • Funkcja jednostajnie ciągła, która nie spełnia warunku Lipschitza to np. pierwiastek   na przedziale  
  • W szczególności, każda funkcja określona i ciągła na przedziale domkniętym [ ] jest jednostajnie ciągła. Na przedziale otwartym już tak nie musi być, na przykład funkcja   na przedziale (0, 1) jest ciągła, ale nie jest jednostajnie ciągła. Jeśli jednak granice funkcji na otwartych końcach przedziału istnieją, to na takim przedziale funkcja również będzie jednostajnie ciągła.

Uogólnienie na przestrzenie liniowo-topologiczneEdytuj

Niech   będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi. Mówimy, że odzworowanie   jest jednostajnie ciągłe, jeśli dla każdego otoczenia   zera przestrzeni   istnieje otoczenie   zera przestrzeni   takie, że dla każdych  

 

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj

  • J.B. Conway, Functions of One Complex Variable I (Graduate Texts in Mathematics 11). Springer-Verlag. ​ISBN 0-387-90328-3​, s. 25–28.
  • S.C. Malik, Principles of Real Analysis, New Age International, 1982, s. 127–129.
  • K. Kuratowski, Rachunek różniczkowy i całkowy, Wydawnictwo Naukowe PWN, 2020.
  • W. Kryszewski, Wykład analizy matematycznej, cz. 1: Funkcje jednej zmiennej, Wydawnictwo Naukowe UMK, 2009. ​ISBN 978-83-231-2352-1​.