Warunek Lipschitza

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

Definicja

Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L,$ gdy dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ zachodzi nierówność

$|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|.$

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech $(X,d),(Y,\sigma )$ będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja $f\colon X\to Y$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L,$ gdy dla dowolnych $x_{1},x_{2}\in X$ zachodzi nierówność

$\sigma (f(x_{1}),f(x_{2}))\leqslant L\cdot d(x_{1},x_{2}).$

Najmniejszą liczba $L$ dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich $x_{2}\in X$ (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji $f.$ Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą $L<1$ nazywane są kontrakcjami.

Podstawowe własności

• Niech $f\colon (a,b)\to \mathbb {R}$ będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas $f$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza $L$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez $L.$

Dowód. Załóżmy, że $f$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L.$ Niech $x_{0}\in (a,b).$ Wówczas dla $x\in (a,b),x\neq x_{0}{:}$

$\left|{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}}\right|={\frac {|f(x)-f(x_{0})|}{|x-x_{0}|}}\leqslant L.$

Stąd $|f'(x_{0})|\leqslant L.$ By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że $|f'(x)|\leqslant L$ dla wszelkich $x\in (a,b).$ Niech $x_{1},x_{2}\in (a,b).$ Bez straty ogólności, można przyjąć, że $x_{1}<x_{2}.$ Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie $c\in (x_{1},x_{2}),$ że

$f(x_{2})-f(x_{1})=f'(c)(x_{2}-x_{1}).$

Ponieważ $|f'(c)|\leqslant L,$

$|f(x_{2})-f(x_{1})|=|f'(c)|\,|x_{2}-x_{1}|\leqslant L|x_{2}-x_{1}|,$

co pokazuje, że $f$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L.$

• Funkcja spełniająca warunek Lipschitza jest funkcją jednostajnie ciągłą.

Dowód. Niech $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą $L.$ Niech $x_{1},x_{2}\in \mathbb {R}$ oraz niech dany będzie $\varepsilon >0.$ Gdy $\delta =\varepsilon /L,$ to $|f(x_{1})-f(x_{2})|\leqslant L|x_{1}-x_{2}|\leqslant L\varepsilon /L=\varepsilon$ o ile tylko $|x_{1}-x_{2}|\leqslant \delta .$ Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.

• Niech $(\Omega ,\mu )$ będzie przestrzenią z miarą oraz niech $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na $\Omega .$ Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji $f$ oraz funkcja $g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ spełnia warunek Lipschitza, to ciąg $(g\circ f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ jest zbieżny według miary do $g\circ f.$

Przykłady

• Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem

$f(x)={\sqrt {x^{2}+5}}$

spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L=1.$ Rzeczywiście, dla $x,y\in \mathbb {R} ,x\neq y,$ zachodzi

$|f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x^{2}+5}}-{\sqrt {y^{2}+5}}|={\Big |}{\tfrac {x^{2}+5-y^{2}-5}{{\sqrt {x^{2}+5}}+{\sqrt {y^{2}+5}}}}{\Big |}\leqslant {\Big |}{\tfrac {(|x|+|y|)(|x|-|y|)}{{\sqrt {x^{2}}}+{\sqrt {y^{2}}}}}{\Big |}\leqslant |x-y|.$

• Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=|x|$ jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą $L=1.$
• Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}$ nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
• Niech $a<b.$ Funkcja $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ dana wzorem $f(x)=x^{2}$ spełnia warunek Lipschitza ze stałą $L=2|b|,$ gdy $|b|\leqslant |a|$ oraz ze stałą $L=2|a|,$ gdy $|a|\leqslant |b|.$

Twierdzenia dotyczące warunku Lipschitza

• twierdzenie Kirszbrauna
• twierdzenie Picarda
• twierdzenie Rademachera