Warunek Lipschitza

Warunek Lipschitza – pewne wzmocnienie ciągłości jednostajnej funkcji. Intuicyjnie można powiedzieć, że własność ta oznacza, że szybkość zmian wartości funkcji jest ograniczona. Nazwa pochodzi od nazwiska matematyka niemieckiego Rudolfa Lipschitza.

Dla funkcji spełniającej warunek Lipschitza istnieje podwójny stożek (biały), którego wierzchołek można przesuwać wzdłuż wykresu funkcji, a wnętrze pozostaje rozłączne z tym wykresem.

DefinicjaEdytuj

Funkcja   spełnia warunek Lipschitza ze stałą   gdy dla dowolnych   zachodzi nierówność

 

Definicja ta naturalnie rozszerza się na funkcje określone pomiędzy przestrzeniami metrycznymi.

Niech   będą przestrzeniami metrycznymi. Funkcja   spełnia warunek Lipschitza ze stałą   gdy dla dowolnych   zachodzi nierówność

 

Najmniejszą liczba   dla której powyższa nierówność zachodzi dla wszelkich   (o ile istnieje) nazywana jest stałą Lipschitza funkcji   Funkcje spełniające warunek Lipschitza ze stałą   nazywane są kontrakcjami.

Podstawowe własnościEdytuj

  • Niech   będzie funkcją różniczkowalną. Wówczas   spełnia warunek Lipschitza ze stałą Lipschitza   wtedy i tylko wtedy, gdy jej pochodna jest ograniczona przez  
Dowód. Załóżmy, że   spełnia warunek Lipschitza ze stałą   Niech   Wówczas dla  
 
Stąd   By udowodnić przeciwną implikację, załóżmy, że   dla wszelkich   Niech   Bez straty ogólności, można przyjąć, że   Z twierdzenia Lagrange’a o wartości średniej wynika, że istnieje takie   że
 
Ponieważ  
 
co pokazuje, że   spełnia warunek Lipschitza ze stałą  
Dowód. Niech   będzie funkcją spełniającą warunek Lipschitza ze stałą   Niech   oraz niech dany będzie   Gdy   to   o ile tylko   Rozumowanie to przenosi się mutatis mutandis na funkcje lipschitzowskie działające pomiędzy dowolnymi przestrzeniami metrycznymi.
  • Niech   będzie przestrzenią z miarą oraz niech   będzie ciągiem funkcji rzeczywistych na   Jeżeli ciąg ten jest zbieżny według miary do pewnej funkcji   oraz funkcja   spełnia warunek Lipschitza, to ciąg   jest zbieżny według miary do  

PrzykładyEdytuj

  • Funkcja   dana wzorem
 
spełnia warunek Lipschitza ze stałą   Rzeczywiście, dla   zachodzi
 
  • Funkcja   dana wzorem   jest funkcją nieróżniczkowalną spełniającą warunek Lipschitza ze stałą  
  • Funkcja   dana wzorem   nie spełnia warunku Lipschitza, bo nie jest jednostajnie ciągła.
  • Niech   Funkcja   dana wzorem   spełnia warunek Lipschitza ze stałą   gdy   oraz ze stałą   gdy  

Twierdzenia dotyczące warunku LipschitzaEdytuj