Twierdzenie Rademachera

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące o różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919.

Twierdzenie

Jeżeli funkcja $f\colon U\to \mathbf {R}$ spełnia w zbiorze otwartym $U\subseteq \mathbf {R} ^{n}$ warunek Lipschitza ze stałą $M>0$

$|f(x)-f(y)|\leqslant M\|x-y\|\quad {\text{dla}}\quad x,y\in U,$

to posiada różniczkę prawie wszędzie w $U.$

Uwagi

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze $\mathbf {R}$) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej $\mathbf {R} ^{n}.$ Wynika to z faktu, że funkcja $f\colon U\to \mathbf {R} ^{n}$ spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa $f_{k}\colon U\to \mathbf {R}$ funkcji $f=(f_{1},\dots ,f_{n})$ spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała $M>0$ nie musi być globalna dla całego zbioru $U.$

Linki zewnętrzne

• Rademacher theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2023-08-26].