Twierdzenie Rademachera

Twierdzenia Rademachera – twierdzenie mówiące od różniczkowalności prawie wszędzie funkcji wielu zmiennych, spełniających warunek Lipschitza[1]. Twierdzenie zostało po raz pierwszy sformułowane i udowodnione w 1919[2].

TwierdzenieEdytuj

Jeżeli funkcja   spełnia w zbiorze otwartym   warunek Lipschitza ze stałą  

 

to posiada różniczkę prawie wszędzie w  

UwagiEdytuj

1) Oczywiście z faktu, że twierdzenie jest prawdziwe dla funkcji rzeczywistej (o wartościach w zbiorze  ) łatwo wnioskuje się, że jest ono prawdziwe dla funkcji o wartościach w przestrzeni wektorowej   Wynika to z faktu, że funkcja   spełnia warunek Lipschita ⇔ każda składowa   funkcji   spełnia warunek Lipschitza.

2) W twierdzeniu wystarczy założyć tylko spełnianie lokalnego warunku Lipschitza. Stała   nie musi być globalna dla całego zbioru  

PrzypisyEdytuj

  1. Stanisław Łojasiewicz, Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych, PWN, Warszawa 1976, s. 160.
  2. William P. Ziemer, Weakly Differentiable Functions', w: Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1989.