Twierdzenie Kirszbrauna

Twierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w „Fundamenta Mathematicae[1]. Kirszbraun udowodnił przedstawione niżej twierdzenie dla odwzorowań spełniających warunek Lipschitza, które działają pomiędzy przestrzeniami euklidesowymi. Przedstawiony niżej przypadek ogólny dla przestrzeni Hilberta pochodzi od Valentine’a[2].

TwierdzenieEdytuj

Niech   i   będą rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta oraz niech   będzie niepustym zbiorem. Każda funkcja   spełniająca warunek Lipschitza ze stałą   może być przedłużona do funkcji   która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą.

Wersja twierdzenia w przypadku gdy przeciwdziedziną są liczby rzeczywisteEdytuj

W przypadku, gdy   jest dowolną przestrzenią metryczną, a   jest niepustym podzbiorem, każdą funkcję   spełniająca warunek Lipschitza ze stałą   można przedłużyć do funkcji   która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą. Istotnie, funkcja dana wzorem

 

jest takim właśnie przedłużeniem[3].

UogólnieniaEdytuj

Lang i Schroeder rozszerzyli twierdzenie Kirszbrauna na przestrzenie metryczne spełniające górne bądź dolne ograniczenia krzywizny w sensie Aleksandrowa[4].

PrzypisyEdytuj

  1. M.D. Kirszbraun. Ueber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. „Fund. Math.”. 22, s. 77–108, 1934. 
  2. F.A. Valentine, A Lipschitz condition preserving extension for a vector function, Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93.
  3. Mattila 1995 ↓, s. 100.
  4. U. Lang, V. Schroeder. Kirszbraun’s Theorem and Metric Spaces of Bounded Curvature. „Geometric and Functional Analysis”. 7, s. 535–560, 1997. 

BibliografiaEdytuj

  • A.V. Akopyan, A.S. Tarasov, A constructive proof of Kirszbraun’s theorem (Russian), Mat. Zametki 84 (2008), no. 5, 781-784; translation in Math. Notes 84 (2008), no. 5–6, 725–728.
  • Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press, 1995.