Twierdzenie Kirszbrauna

Twierdzenie Kirszbrauna – twierdzenie o rozszerzaniu funkcji lipchitzowskich na przestrzeniach Hilberta, udowodnione przez polskiego matematyka, Mojżesza D. Kirszbrauna w jego pracy magisterskiej obronionej w Warszawie w 1930. Poszerzona wersja jego pracy magisterskiej została opublikowana w „Fundamenta Mathematicae”^[1]. Kirszbraun udowodnił przedstawione niżej twierdzenie dla odwzorowań spełniających warunek Lipschitza, które działają pomiędzy przestrzeniami euklidesowymi. Przedstawiony niżej przypadek ogólny dla przestrzeni Hilberta pochodzi od Valentine’a^[2].

Twierdzenie

Niech $H$ i $K$ będą rzeczywistymi przestrzeniami Hilberta oraz niech $U\subseteq H$ będzie niepustym zbiorem. Każda funkcja $f\colon U\to K,$ spełniająca warunek Lipschitza ze stałą $L$ może być przedłużona do funkcji $F\colon H\to K,$ która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą.

Wersja twierdzenia w przypadku gdy przeciwdziedziną są liczby rzeczywiste

W przypadku, gdy $(X,d)$ jest dowolną przestrzenią metryczną, a $U\subseteq X$ jest niepustym podzbiorem, każdą funkcję $f\colon U\to \mathbb {R} ,$ spełniająca warunek Lipschitza ze stałą $L$ można przedłużyć do funkcji $F\colon X\to \mathbb {R} ,$ która również spełnia warunek Lipschitza z tą samą stałą. Istotnie, funkcja dana wzorem

F(x)=\inf _{y\in U}\{f(y)+L\cdot d(x,y)\}\quad (x\in X)

jest takim właśnie przedłużeniem^[3].

Uogólnienia

Lang i Schroeder rozszerzyli twierdzenie Kirszbrauna na przestrzenie metryczne spełniające górne bądź dolne ograniczenia krzywizny w sensie Aleksandrowa^[4].

Przypisy

↑ M.D. Kirszbraun. Ueber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. „Fund. Math.”. 22, s. 77–108, 1934.
↑ F.A. Valentine, A Lipschitz condition preserving extension for a vector function, Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93.
↑ Mattila 1995 ↓, s. 100.
↑ U. Lang, V. Schroeder. Kirszbraun’s Theorem and Metric Spaces of Bounded Curvature. „Geometric and Functional Analysis”. 7, s. 535–560, 1997.

Bibliografia

A.V. Akopyan, A.S. Tarasov, A constructive proof of Kirszbraun’s theorem (Russian), Mat. Zametki 84 (2008), no. 5, 781-784; translation in Math. Notes 84 (2008), no. 5–6, 725–728.
Pertti Mattila, Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces, Studies in Advanced Mathematics, vol. 44, Cambridge University Press, 1995.

Linki zewnętrzne

Kirszbraun theorem (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org, [dostęp 2022-12-15].

[1] M.D. Kirszbraun. Ueber die zusammenziehende und Lipschitzsche Transformationen. „Fund. Math.”. 22, s. 77–108, 1934.

[2] F.A. Valentine, A Lipschitz condition preserving extension for a vector function, Amer. J. Math. 67 (1945), 83–93.

[CITEREFMattila1995100-3] Mattila 1995 ↓, s. 100.

[4] U. Lang, V. Schroeder. Kirszbraun’s Theorem and Metric Spaces of Bounded Curvature. „Geometric and Functional Analysis”. 7, s. 535–560, 1997.

[1]

[2]

[3]

[4]