Otwórz menu główne

Spis treści

Antynomia Russella lub paradoks Russella – sprzeczność wykryta w naiwnej teorii mnogości przez Bertranda Russella w 1901 roku. Sprzeczność ta stanowiła duży cios dla rozwoju logicyzmu, będącego próbą aksjomatyzacji matematyki, zgodnie z którym wszystkie obiekty matematyczne powinny dać się wyrazić jako zbiory. Obserwacje dokonane przez Russella zmusiły matematyków do rewizji tego fundamentalnego stanowiska i następnie przyjęcia, że istnieją obiekty niebędące zbiorami, opisywane formułami logicznymi – nazywa się je klasami właściwymi. Paradoks ten wynika z autoreferencji, czyli odwoływania się do samego siebie, i ma charakter podobny do takich paradoksów jak paradoks zbioru wszystkich zbiorów, paradoks kłamcy czy paradoks Berry’ego; por. twierdzenia Gödla i problem stopu.

ParadoksEdytuj

Niech   oznacza zbiór zawierający wszystkie takie zbiory   dla których   nie jest elementem   tj.

 

Postawmy pytanie, czy   jest swoim elementem, czy nie.

  • Jeśli przypuścimy, że   jest elementem   to   nie spełnia definicji zbioru   a więc nie jest elementem  
  • jeśli zaś   nie jest elementem   to   musi być elementem   na mocy definicji tego zbioru[1].

Prowadzi do sprzeczności:

 

Wyjaśnienie paradoksuEdytuj

Paradoks jest pozorny i wynika z nadużycia pojęcia zbioru. „Zbiór”   został utworzony jako   gdzie   jest predykatem z jedną zmienną   niezawierającym symbolu   Tworzenie zbiorów w taki sposób było powszechną praktyką w naiwnej teorii mnogości. Jednak w aksjomatycznej teorii mnogości ZF istnieją jedynie takie zbiory, których istnienie jest zagwarantowane jakimś aksjomatem (np. zbiór pusty) bądź takie, które można skonstruować powołując się na jakiś aksjomat (np. aksjomat pary, aksjomat sumy).

Definicja typu   jest poprawna („skuteczna”), o ile elementy   są pobierane z jakiegoś już istniejącego zbioru. W przeciwnym razie dostajemy nie zbiór, ale klasę właściwą. Taką klasą właściwą może też być   jednak o ile w przypadku tej klasy traktowanie jej jako zbioru prowadzi np. do paradoksu zbioru wszystkich zbiorów, o tyle w przypadku klasy   traktowanie jej jako zbioru prowadzi do sprzeczności już na etapie weryfikowania, czy on sam należy do siebie, czy nie.

Anegdotyczne wersje paradoksuEdytuj

Anegdotyczne sformułowanie antynomii Russela nosi nazwę „paradoksu fryzjera” lub „paradoksu golibrody”[2]:

Fryzjer, mieszkaniec pewnego miasta, goli tych jego mieszkańców, którzy sami się nie golą. Czy fryzjer goli się sam?

John D. Barrow w swojej książce Pi razy drzwi używa postaci cyrulika sewilskiego: „Cyrulik sewilski goli w Sewilli wszystkich tych i tylko tych, którzy nie golą się sami. Czy cyrulik goli się sam?”. Inne sformułowanie tego paradoksu dotyczy ciotki, która lubi tych, co siebie nie lubią i nie lubi tych, co siebie lubią. Odpowiedź na pytanie, czy ciotka lubi siebie prowadzi do paradoksalnej konkluzji, że ciotka lubi siebie wtedy i tylko wtedy, gdy siebie nie lubi.

Próby rozwiązania paradoksuEdytuj

Rozważmy zbiór   którego elementy wskazane zostaną za pomocą tzw. funkcji charakterystycznej   która przyjmuje dla danego elementu   wartość   gdy   należy do   oraz wartość   gdy   nie należy do   Wykorzystując ten sposób patrzenia na zbiory mężczyzn w mieście, można przypisać do zbioru   tych z nich, którzy golą się sami, albo do zbioru   tych mężczyzn, którzy korzystają w tym względzie z usług golibrody. Do którego z nich należy sam golibroda? Dla dowolnego golącego się mężczyzny   prawdą jest, że   tzn. mężczyzna jest golony (goli się sam albo goli go golibroda). Można się zgodzić, iż golibroda   w takim samym stopniu należy do tych, którzy golą się sami, jak i do tych, których goli golibroda, tzn.   Z równości tych wynika wtedy   Paradoks ten można więc rozwiązać wprowadzając pośredni, ułamkowy stopień „należenia” do zbioru, które sformalizowano w postaci tzw. zbiorów rozmytych (por. logika trójwartościowa i logika wielowartościowa).

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. Paradoks Russella. encyklopedia.pwn.pl. [dostęp 2011-04-14].
  2. Paradoks fryzjera. www.math.edu.pl. [dostęp 2011-04-14].

Linki zewnętrzneEdytuj