Otwórz menu główne

Formuła logiczna – określenie dozwolonego wyrażenia w wielu systemach logicznych, m.in. w rachunku kwantyfikatorów oraz w rachunku zdań.

Spis treści

Rachunek zdańEdytuj

Zdania rachunku zdań są formułami tegoż rachunku. Tak więc każda zmienna zdaniowa   jest formułą. Taką formułę nazywa się też formułą atomową. Formułami są także negacje formuł atomowych, tzn.   Formuły atomowe i ich negacje nazywa się też literałami. Ponadto jeżeli   są formułami i   jest binarnym spójnikiem zdaniowym (alternatywą   koniunkcją   implikacją   lub równoważnością  ), to   oraz   są formułami. Żadne inne wyrażenie nie może być formułą.

PrzykładyEdytuj

Wbrew definicji formalnej, w sytuacjach, gdy nie prowadzi to do nieporozumień, część nawiasów w formule opuszcza się. Przykładowo, zgodnie z definicją formalną wyrażenie:   nie jest formułą (formułą byłoby np. wyrażenie   lecz interpretacja takiej formuły jest jednoznaczna i wewnętrzne nawiasy w praktyce pomija się).

Rachunek kwantyfikatorówEdytuj

Rachunek kwantyfikatorów (rachunek predykatów pierwszego rzędu), jako uogólnienie rachunku zdań, posługuje się podobną definicją formalną formuły, rozszerzając ją o kwantyfikatory – jeżeli φ jest formułą rachunku kwantyfikatorów, to   oraz   są nią również.

Formalna definicjaEdytuj

Niech   będzie ustalonym alfabetem, czyli zbiorem stałych, symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych (predykatów). Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Niech   będzie nieskończoną listą zmiennych.

Przypomnijmy, że termy języka   to elementy najmniejszego zbioru   takiego, że:

  • wszystkie stałe i zmienne należą do  
  • jeśli   i   jest  -arnym symbolem funkcyjnym, to  

Formuły języka   są wprowadzane przez indukcję po ich złożoności jak następuje:

  • jeśli   to wyrażenie   jest formułą (tzw. formuła atomową),
  • jeśli   zaś   jest  -arnym symbolem relacyjnym, to wyrażenie   jest formułą (tzw. formuła atomową),
  • jeśli   są formułami oraz   jest binarnym spójnikiem zdaniowym, to   oraz   są formułami,
  • jeśli   jest zmienną oraz   jest formułą, to także   i   są formułami.

Zmienne wolne w formuleEdytuj

W formułach postaci   i   mówimy że zmienna   znajduje się w zasięgu kwantyfikatora i jako taka jest związana. Przez indukcję po złożoności formuł, rozszerzamy to pojęcie na wszystkie formuły w których   czy też   pojawia się jako jedna z części użytych w budowie, ale ograniczamy się do występowań zmiennej   w   (i mówimy że konkretne wystąpienie zmiennej jest wolne lub związane). Bardziej precyzyjnie:

  • każde wystąpienie zmiennej   w formule atomowej jest wolne,
  • jeśli   to formuła postaci   to każde wystąpienie zmiennej   w formule   jest związane,
  • jeśli   to formuły i pewne wystąpienie zmiennej   w formule   jest związane (wolne, odpowiednio), to wystąpienie to rozważane w formułach     oraz   także jest związane (wolne, odpowiednio; tutaj * jest binarnym spójnikiem zdaniowym).

Formuły w których nie ma wolnych występowań żadnych zmiennych są nazywane zdaniami (danego języka).

Domknięciem (lub domknięciem ogólnym) względem zmiennych   formuły   nazywamy formułę  

PrzykładyEdytuj

W praktyce, podobnie jak w rachunku zdań, gdy nie prowadzi to do niejasności, stosuje się zasadę opuszczania nawiasów.

  • Przykładami formuł języka   teorii mnogości (czyli   jest binarnym symbolem relacyjnym) są:
 
 
  • Przykładami formuł języka   teorii grup (czyli   jest binarnym symbolem funkcyjnym) są:
 
 
 

Zobacz teżEdytuj