Symbol funkcyjny

Symbol funkcyjny – symbol używany w logice matematycznej i pokrewnych dziedzinach matematyki (np. algebrze abstrakcyjnej). Symbole funkcyjne są elementami alfabetów języków pierwszego rzędu (a także innych logik) i charakteryzują się tym, że zastosowane do obiektów zwanych termami produkują nowe termy.

W potocznym języku matematyki, symbole funkcyjne w wyrażeniach matematycznych oznaczają funkcje, np.: w wyrażeniu symbolem funkcyjnym jest w jest nim +, w są nimi oraz

Symbole funkcyjne i termy w logikach pierwszego rzęduEdytuj

Wprowadzając język pierwszego rzędu najpierw określamy jego alfabet   czyli zbiór symboli funkcyjnych, symboli relacyjnych i stałych. Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle  ).

Definiujemy termy języka   przez indukcję po ich złożoności w następujący sposób:

  • wszystkie stałe i zmienne są termami,
  • jeśli   są termami, i   jest  -arnym symbolem funkcyjnym, to   jest termem.

Różne ujęcia i oznaczeniaEdytuj

  • W niektórych ujęciach rachunku kwantyfikatorów, stałe języka są traktowane jako 0-argumentowe symbole funkcyjne. Wówczas alfabet języka składa się jedynie z symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych, ale arność tych pierwszych może wynosić zero.
  • W teorii modeli czasami jest wygodniej zakładać, że alfabet rozważanego języka nie zawiera żadnych symboli funkcyjnych. Nie wprowadza to żadnego istotnego ograniczenia, bowiem każdy  -arny symbol funkcyjny   może być zastąpiony przez  -argumentową relację   tak że intuicyjny związek między nimi jest wyrażony przez
  wtedy i tylko wtedy, gdy  
(Wymaga to dodania do rozważanych teorii zdania wyrażającego własność predykatu   że „pochodzi” on od pewnej funkcji.)
  • W algebrze, dwuczłonowe symbole funkcyjne są zapisywane pomiędzy termami. Tradycyjnie piszemy więc   (a nie  ) itd.

PrzykładyEdytuj

  • Język teorii grup to   gdzie   jest binarnym symbolem funkcyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:
 
 
  • Język ciał uporządkowanych to   gdzie   są binarnymi symbolami funkcyjnymi, a   jest binarnym symbolem relacyjnym. Przykładowe termy w tym języku to:
 
 
 

Interpretacje termów w modeluEdytuj

Niech   będzie alfabetem jakiegoś języka pierwszego rzędu i niech   będzie zbiorem stałych tego alfabetu,   będzie zbiorem symboli funkcyjnych, a   będzie zbiorem symboli relacyjnych. modelem języka   nazywamy układ

 

gdzie:

  •   jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu   (często uniwersum modelu   oznacza się przez  ),
  • dla  -arnego symbolu relacyjnego     jest  -argumentową relacją na zbiorze   tzn.  
  • dla  -arnego symbolu funkcyjnego     jest  -argumentowym działaniem na zbiorze   tzn.  
  • dla stałej     jest elementem zbioru  

Tak więc w modelach danego języka symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje. Przez indukcję po złożoności termów definiujemy też interpretację termu w modelu  . Dla termu   o zmiennych wolnych zawartych wśród   i dla elementów   definiujemy   następująco:

  • Jeśli   jest stałą   alfabetu   to  
  • Jeśli   jest zmienną   to  
  • Jeśli   są termami i   jest  -arnym symbolem funkcyjnym, to  

Zobacz teżEdytuj