Symbol funkcyjny – symbol używany w logice matematycznej i pokrewnych dziedzinach matematyki (np. algebrze abstrakcyjnej). Symbole funkcyjne są elementami alfabetów języków pierwszego rzędu (a także innych logik) i charakteryzują się tym, że zastosowane do obiektów zwanych termami produkują nowe termy.
W potocznym języku matematyki, symbole funkcyjne w wyrażeniach matematycznych oznaczają funkcje, np.: w wyrażeniu symbolem funkcyjnym jest w jest nim +, w są nimi oraz
Wprowadzając język pierwszego rzędu najpierw określamy jego alfabet czyli zbiór symboli funkcyjnych, symboli relacyjnych i stałych. Każdy z tych symboli ma jednoznacznie określony charakter (tzn. wiadomo czy jest to stała, czy symbol funkcyjny, czy też predykat) i każdy z symboli funkcyjnych i predykatów ma określoną arność (która jest dodatnią liczbą całkowitą). Ustalmy też nieskończoną listę zmiennych (zwykle ).
Definiujemy termy języka przez indukcję po ich złożoności w następujący sposób:
wszystkie stałe i zmienne są termami,
jeśli są termami, i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to jest termem.
W niektórych ujęciach rachunku kwantyfikatorów, stałe języka są traktowane jako 0-argumentowe symbole funkcyjne. Wówczas alfabet języka składa się jedynie z symboli funkcyjnych i symboli relacyjnych, ale arność tych pierwszych może wynosić zero.
W teorii modeli czasami jest wygodniej zakładać, że alfabet rozważanego języka nie zawiera żadnych symboli funkcyjnych. Nie wprowadza to żadnego istotnego ograniczenia, bowiem każdy -arny symbol funkcyjny może być zastąpiony przez -argumentową relację tak że intuicyjny związek między nimi jest wyrażony przez
wtedy i tylko wtedy, gdy
(Wymaga to dodania do rozważanych teorii zdania wyrażającego własność predykatu że „pochodzi” on od pewnej funkcji.)
W algebrze, dwuczłonowe symbole funkcyjne są zapisywane pomiędzy termami. Tradycyjnie piszemy więc (a nie ) itd.
Niech będzie alfabetem jakiegoś języka pierwszego rzędu i niech będzie zbiorem stałych tego alfabetu, będzie zbiorem symboli funkcyjnych, a będzie zbiorem symboli relacyjnych. Modelem języka nazywamy układ
gdzie:
jest niepustym zbiorem zwanym dziedziną lub uniwersum modelu (często uniwersum modelu oznacza się przez ),
dla -arnego symbolu relacyjnego jest -argumentową relacją na zbiorze tzn.
dla -arnego symbolu funkcyjnego jest -argumentowym działaniem na zbiorze tzn.
dla stałej jest elementem zbioru
Tak więc w modelach danego języka symbole funkcyjne są interpretowane jako funkcje. Przez indukcję po złożoności termów definiujemy też interpretację termu w modelu . Dla termu o zmiennych wolnych zawartych wśród i dla elementów definiujemy następująco:
Jeśli jest stałą alfabetu to
Jeśli jest zmienną to
Jeśli są termami i jest -arnym symbolem funkcyjnym, to