Otwórz menu główne

Negacja (z łac. negatio[1] inaczej zaprzeczenie, ¬) – zdanie mające postać nieprawda, że p, gdzie p jest zdaniem. W rachunku zdań negacja zapisywana jest jako: (także lub ). Negację można zdefiniować ściślej jako jednoargumentowe działanie (funktor zdaniotwórczy) określone w zbiorze zdań, które każdemu zdaniu p przyporządkowuje zdanie nie p[2][3]. Inne przyjęte sposoby odczytywania zdania to nieprawda, że p[4] i nie jest tak, że p[5].

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie dwuelementowym zbiorem wartości logicznych:  . Negacja   jest funkcją ze zbioru   w zbiór  [a], określoną następująco:

 [6],

czyli

 
 [7].

Negację zdania p uważa się za prawdziwą, gdy zdanie p jest fałszywe, zaś za fałszywą, gdy zdanie p jest prawdziwe[7][3][8].

Tablica prawdy dla negacji[3]:
   
0 1
1 0

gdzie:

1 – prawda (lub zdanie prawdziwe)
0 – fałsz (lub zdanie fałszywe).

NotacjaEdytuj

Zestawienie symboli negacji, używanych przez różnych autorów[9][10]:

Schröder
Peirce
Peano
Russell
Hilbert Łukasiewicz
Negacja        

Do oznaczenia negacji stosowana jest także angielska partykuła NOT (funkcja boolowska).

WłasnościEdytuj

W klasycznym rachunku zdań poniższe własności są tautologiami (zdaniami zawsze prawdziwymi, bez względu na wartości logiczne zdań składowych).

Prawo podwójnego przeczeniaEdytuj

Złożenie dwóch negacji daje w wyniku przekształcenie identycznościowe:

 [11],

gdzie   jest znakiem równoważności (oznacza: wtedy i tylko wtedy, gdy).

 
Podwójne przeczenie się znosi, lub po łacinie: duplex negatio affirmat, tzn. podwójne przeczenie, to tyle co twierdzenie[12].

Przykład:

  • Niech zdanie   oznacza: Warszawa jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe).
  • Wówczas   ma postać: Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie fałszywe).
  • Natomiast   można zapisać: Nieprawda, że Warszawa nie jest stolicą Polski (jest to zdanie prawdziwe i równoważne zdaniu  ).

Prawo wyłączonego środkaEdytuj

Zasada wyłączonego środka mówi, że z dwóch zdań sprzecznych co najmniej jedno jest prawdziwe[12]:

 [11][13],

gdzie   jest znakiem alternatywy (oznacza spójnik lub).

Przykład:

  • Niech zdanie   ma postać: Jutro będzie padał deszcz.
  • Wówczas   to Jutro nie będzie padał deszcz.
  • Jedno z nich jest prawdziwe (możemy nie wiedzieć które).
  • Ich alternatywa   (Jutro będzie padał deszcz lub jutro nie będzie padał deszcz) jest zawsze prawdziwa.

Zasada niesprzecznościEdytuj

Zasada niesprzeczności (zwana także zasadą sprzeczności[12]) głosi, że z dwóch zdań sprzecznych najwyżej jedno jest prawdziwe[14] (lub równoważnie, co najmniej jedno jest fałszywe[13]):

 [14][13],

gdzie   jest znakiem koniunkcji (oznacza spójnik 'i').

Przykład:

  • Niech   będzie zdaniem Mam ciastko.
  • Wówczas   ma postać: Nie mam ciastka.
  • Ich koniunkcja   to Mam ciastko i nie mam ciastka (jest to zdanie fałszywe).
  • Zaprzeczenie tej koniunkcji   (Nieprawda, że mam ciastko i nie mam ciastka) jest zdaniem prawdziwym.

Zobacz teżEdytuj



UwagiEdytuj

  1. Jest to jedna ze stosowanych definicji. Częściej jednak przyjmuje się, że negacja jest działaniem w zbiorze zdań lub funkcji zdaniowych (stąd nazwa: funktor zdaniotwórczy).

PrzypisyEdytuj

BibliografiaEdytuj

  1. Kazimierz Ajdukiewicz: Zarys logiki. Warszawa: Państwowe Zakłady Wydawnictw Szkolnych, 1957. OCLC 749403627.
  2. Andrzej Grzegorczyk: Zarys logiki matematycznej. Wyd. 4. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1975. OCLC 749328557.
  3. Andrzej Mostowski: Logika matematyczna : kurs uniwersytecki. Warszawa: 1948, seria: Monografie matematyczne t. 18. OCLC 250092935.
  4. Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Wyd. 5. Warszawa: PWN, 1975, seria: Biblioteka matematyczna, t. 30. OCLC 749626864.
  5. Kenneth A. Ross, Charles R.B Wright: Matematyka dyskretna. E. Sepko-Guzicka (tłum.), W. Guzicki (tłum.), P. Zakrzewski (tłum.). Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1996. ISBN 83-01-12129-7.
  6. Jerzy Słupecki, Katarzyna Hałkowska, Krystyna Piróg-Rzepecka: Logika matematyczna. Wyd. 2. popr. i uzup. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999. ISBN 83-01-12958-1.

Linki zewnętrzneEdytuj