Zbiór rozmyty

zbiór w którym istnieją stopnie przynależności

Zbiór rozmyty (ang. fuzzy set) – obiekt matematyczny ze zdefiniowaną funkcją przynależności (zwaną też funkcją charakterystyczną zbioru rozmytego), która przybiera wartości z przedziału [0, 1]. Teoria zbiorów rozmytych została wprowadzona przez Lotfi A. Zadeha w 1965 r. jako rozszerzenie klasycznej teorii zbiorów[1][2].

Przeciwdziedzina funkcji przynależności klasycznego zbioru ma jedynie dwie wartości: 0 i 1.

Definicja formalnaEdytuj

Zbiorem rozmytym   w przestrzeni   jest zbiór uporządkowanych par:

 

gdzie  

Lotfi Zadeh zaproponował także symboliczną notację zbiorów rozmytych (symbol   nie oznacza dzielenia):

  • dla dyskretnej przestrzeni  
 

W notacji Zadeha znak sumy nie oznacza dodawania elementów, lecz oznacza, że zbiór zbudowany jest z elementów   zbioru dyskretnego   Przynależność każdego z elementów do zbióru   opisuje funkcja  

Przykład: Zbiór   ma trzy elementy   Zapis ten oznacza, że element o wartości   należy do zbioru   w stopniu równym   element o wartości   w stopniu   a element   w stopniu   Można więc symbolicznie zapisać zbiór   jako   W notacji Zadeha zbiór   przedstawia się jako  

  • dla ciągłej przestrzeni  
 

W notacji Zadeha znak całki nie oznacza całkowania, lecz oznacza, że zbiór zbudowany jest z elementów   zbioru ciągłego   Przynależność każdego z elementów do zbióru   opisuje funkcja  

Przykład: Zbiór   ma nieskończenie wiele elementów   Każdemu elementowi przypisana jest wartość funkcji przynależności   Zbiór   w notacji Zadeha zapisywany jest jako   Można zbiór   przedstawić jako:  

Przykładem zbioru rozmytego może być „zbiór wysokich ludzi”. Niektórzy ludzie są wysocy (przynależność 1), inni zaś nie są (przynależność 0), jest jednak duża grupa ludzi pomiędzy tymi dwiema skrajnościami, dla których funkcja przynależności przyjmuje wartości pośrednie.

W teorii zbiorów rozmytych używane są różne funkcje przynależności. Najczęściej stosowane to funkcja trapezowa, trójkątna i tak zwana s-funkcja.

Ze zbiorem rozmytym związane są następujące wielkości:

  • nośnik (ang. support) zbioru rozmytego A: zbiór takich elementów   których wartość funkcji przynależności jest większa od zera:
 
  • rdzeń (ang. core) zbioru rozmytego A: zbiór takich elementów   których wartość funkcji przynależności jest równa 1:
 
  • wysokość (ang. height) zbioru rozmytego A: kres górny funkcji przynależności
 

Zbiór rozmyty jest znormalizowany, wtedy i tylko wtedy, gdy  

Topologia zbiorów rozmytychEdytuj

Zbiór rozmyty jest wypukły, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych   spełniona jest zależność:

 

Relacje zbiorów rozmytychEdytuj

Na zbiorach rozmytych zdefiniowane są podobne relacje, co na klasycznych zbiorach.

  • relacja równości, przy czym  
 
  • relacja zawierania
 
 

Zobacz teżEdytuj

PrzypisyEdytuj

  1. L.A. Zadeh (1965) „Fuzzy sets”. Information and Control 8 (3) 338–353.
  2. zbiór rozmyty, [w:] Encyklopedia PWN [online] [dostęp 2021-10-04].