Implikacja rozmyta

Implikacja rozmyta jest funkcją $I:[0,1]\times [0,1]\to [0,1].$ Dla każdego $x,y,z\in [0,1]$ implikacja spełnia następujące warunki:

(1) Jeżeli $x\leqslant z,$ to $I(x,y)\geqslant I(z,y).$
(2) Jeżeli $y\leqslant z,$ to $I(x,y)\leqslant I(x,z).$
(3) $I(0,y)=1$
(4) $I(x,1)=1$
(5) $I(1,0)=0$

Przykłady implikacji rozmytych
Nazwa	Postać
Fodora	$I(x,y)={\begin{cases}1,&x\leqslant y\\\max(1-x,y),&x>y\end{cases}}$
Gödela	$I(x,y)={\begin{cases}1,&x\leqslant y\\y,&x>y\end{cases}}$
Goguena	$I(x,y)=\min(y/x,1)$
Kleene’a-Dienesa	$I(x,y)=\max(1-x,y)$
Łukasiewicza	$I(x,y)=\min(1-x+y,1)$
Reichenbacha	$I(x,y)=1-x+xy$
Reschera	$I(x,y)={\begin{cases}1,&x\leqslant y\\0,&x>y\end{cases}}$
Webera	$I(x,y)={\begin{cases}1,&x<0\\{y},&x=0\end{cases}}$
Yagera	$I(x,y)={\begin{cases}1,&x=0\land y=0\\{y}^{x},&x>0\lor y>0\end{cases}}$

W zastosowaniach często można spotkać implikację Zadeha $I(x,y)=\max(1-x,\min(x,y)).$ Wbrew nazwie funkcja ta nie spełnia własności (1), nie jest zatem implikacją.

Bibliografia edytuj

Jacek Łęski: Systemy neuronowo-rozmyte. Warszawa: Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, 2008.
Michał Baczyński, B. Jayaram: Fuzzy implications. Berlin Heidelberg: Springer-Verlag, 2008.