Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.

Iloczyn kartezjańskiEdytuj

Niech   będzie rodziną grup, gdzie   jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański

 

z działaniem

 

Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż

  • elementem neutralnym jest   gdzie   jest elementem neutralnym grupy   dla każdego  
  • elementem odwrotnym do elementu   jest  

Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem  

W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.

Iloczyn prostyEdytuj

Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup   określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup   określonego równością

 

Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.

WłasnościEdytuj

Jeżeli   jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis  

Jeżeli jednak   jest zbiorem przeliczalnym, a  nietrywialne dla nieskończenie wielu   to  

Suma prostaEdytuj

Jeżeli rozważamy grupy   z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze

 

W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.

Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych   Jest również łączny w sensie, że jeżeli   oraz   to  

Jeżeli   to można udowodnić, że:

  • dla dowolnych   zachodzi  
  • dla dowolnych   istnieją jednoznacznie wyznaczone   takie, że  
  • zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn.   jest izomorficzna z  

Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.

PrzykładyEdytuj

Iloczyn półprostyEdytuj

Iloczyn półprosty zewnętrznyEdytuj

Niech będą dane grupy   i   oraz homomorfizm   grupy   w grupę automorfizmów grupy  

Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup   i   za pośrednictwem   oznaczanym   nazywa się grupę składająca się z elementów   wraz z działaniem określonym wzorem

 

oraz odwrotnością daną przez

 

i elementem neutralnym

 

gdzie   oraz   są elementami neutralnymi.

Iloczyn półprosty wewnętrznyEdytuj

Niech   będzie podgrupą normalną w   Dopełnieniem normalnym   podgrupy   w   nazywamy zbiór spełniający warunki   oraz   (równoważnie  ).

Grupę   nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup   i   co oznacza   wtedy i tylko wtedy, gdy   jest dopełnieniem normalnym  

Jeżeli grupa   jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup   i   to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym   za pośrednictwem homomorfizmu   określonego jako   czyli sprzężenie   przez   Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny   jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup   oraz   przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.

WłasnościEdytuj

  •   wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm   jest trywialny.
  •   jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy   są przemienne oraz   jest trywialny.

PrzykładyEdytuj

  • Grupa diedralna rzędu   jest iloczynem półprostym wewnętrznym  
  • Grupa izometrii przestrzeni   jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.

Zobacz teżEdytuj

BibliografiaEdytuj