Iloczyny grup
![]() |
Zasugerowano, aby ten artykuł podzielić na różne artykuły. |
Iloczyny (produkty) grup – sposoby budowania nowych grup z dobrze już znanych, jak również metody opisu bardziej skomplikowanych grup przez inne, mniejsze, o znanej strukturze, np. każda grupa abelowa skończenie generowana jest iloczynem prostym grup cyklicznych.
Iloczyn kartezjańskiEdytuj
Niech będzie rodziną grup, gdzie jest co najwyżej przeliczalnym zbiorem indeksów. Rozważmy iloczyn kartezjański
Powyższe działanie wprowadza w tym zbiorze strukturę grupy, gdyż
- elementem neutralnym jest gdzie jest elementem neutralnym grupy dla każdego
- elementem odwrotnym do elementu jest
Powyższą konstrukcję nazywa się iloczynem kartezjańskim grup i oznacza symbolem
W definicji zastosowano dla każdej grupy zapis multyplikatywny.
Iloczyn prostyEdytuj
Iloczynem (produktem) prostym (zewnętrznym) grup określonych wyżej nazywa się podgrupę iloczynu kartezjańskiego grup określonego równością
Iloczyn prosty jest więc zbiorem tych elementów iloczynu kartezjańskiego, których prawie wszystkie współrzędne są jedynkami odpowiednich grup. Grupa, która może być wyrażona jako iloczyn prosty właściwych podgrup jest nazywana rozkładalną, w przeciwnym wypadku nosi ona nazwę nierozkładalnej.
WłasnościEdytuj
Jeżeli jest zbiorem skończonym, to iloczyn prosty pokrywa się z iloczynem kartezjańskim grup, wówczas do jego oznaczenia stosuje się również zapis
Jeżeli jednak jest zbiorem przeliczalnym, a są nietrywialne dla nieskończenie wielu to
Suma prostaEdytuj
Jeżeli rozważamy grupy z addytywnym sposobem zapisu, to iloczyn prosty nazywa się wówczas sumą prostą i pisze
W algebrze abstrakcyjnej sumy proste grup uogólnia się na sumy proste przestrzeni liniowych, modułów i innych struktur, więcej w artykule o sumach prostych modułów.
Sam zapis jest przemienny, tzn. dla sumy prostej dwóch grup przemiennych Jest również łączny, tzn. jeżeli oraz to
Jeżeli to można udowodnić, że:
- dla dowolnych zachodzi
- dla dowolnych istnieją jednoznacznie wyznaczone takie, że
- zachodzi skracanie sumy w ilorazie, tzn. jest izomorficzna z
Fakty te uogólnia się łatwo na sumę prostą skończenie wielu grup.
PrzykładyEdytuj
- grupa wektorów na płaszczyźnie euklidesowej o współrzędnych rzeczywistych z dodawaniem jest iloczynem prostym grupy liczb rzeczywistych z dodawaniem przez samą siebie.
Iloczyn półprostyEdytuj
Iloczyn półprosty zewnętrznyEdytuj
Niech będą dane grupy i oraz homomorfizm grupy w grupę automorfizmów grupy
Iloczynem półprostym (zewnętrznym) grup i za pośrednictwem oznaczanym nazywa się grupę składająca się z elementów wraz z działaniem określonym wzorem
oraz odwrotnością daną przez
i elementem neutralnym
gdzie oraz są elementami neutralnymi.
Iloczyn półprosty wewnętrznyEdytuj
Niech będzie podgrupą normalną w Dopełnieniem normalnym podgrupy w nazywamy zbiór spełniający warunki oraz (równoważnie ).
Grupę nazywa się iloczynem półprostym wewnętrznym podgrup i co oznacza wtedy i tylko wtedy, gdy jest dopełnieniem normalnym
Jeżeli grupa jest iloczynem półprostym wewnętrznym swoich podgrup i to jest ona izomorficzna z iloczynem półprostym zewnętrznym za pośrednictwem homomorfizmu określonego jako czyli sprzężenie przez Odwrotnie, iloczyn półprosty zewnętrzny jest wewnętrznym iloczynem półprostym swoich podgrup oraz przy czym pierwsza z nich jest podgrupą normalną.
WłasnościEdytuj
- wtedy i tylko wtedy, gdy homomorfizm jest trywialny.
- jest przemienna wtedy i tylko wtedy, gdy są przemienne oraz jest trywialny.
PrzykładyEdytuj
- Grupa diedralna rzędu jest iloczynem półprostym wewnętrznym
- Grupa izometrii przestrzeni jest iloczynem półprostym grupy obrotów oraz symetrii z grupą translacji.
Zobacz teżEdytuj
BibliografiaEdytuj
- Cz. Bagiński, Wstęp do teorii grup, SCRIPT, 2005, ISBN 83-904564-9-4.