Jądro (teoria kategorii)

Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.

Jądro morfizmuEdytuj

Niech   będzie kategorią z morfizmami zerowymi.

 
Ilustracja definicji jądra morfizmu

Morfizm   nazywamy jądrem morfizmu[1]   jeśli:

  •  
  • dla każdego morfizmu   takiego że   istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm   że  

Jądro morfizmu   oznaczane jest przez  

Jeśli   i   to istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony izomorfizm   że   Na odwrót, jeśli   i   jest izomorfizmem, to morfizm   jest jądrem   Zatem wszystkie jądra morfizmu   tworzą podobiekt obiektu   który oznaczany jest przez  

Własności jądra morfizmuEdytuj

  • Jeśli   to   jest monomorfizmem normalnym. Twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
  • Jądrem morfizmu zerowego   jest morfizm jednostkowy  
  • Jądro morfizmu jednostkowego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w   istnieje obiekt zerowy.
  • Nie w każdej kategorii z morfizmami zerowymi każdy morfizm ma jądro.
  • W kategorii   z obiektem zerowym morfizm   posiada jądro wtedy i tylko wtedy, gdy w   istnieje kwadrat uniwersalny względem morfizmów   i   Warunek ten jest spełniony w szczególności dla dowolnego morfizmu lokalnie małej lewostronnie kategorii z obiektem zerowym i koiloczynem.

Kojądro morfizmuEdytuj

 
Ilustracja definicji kojądra morfizmu

Niech   będzie kategorią z morfizmami zerowymi. Morfizm   nazywa się kojądrem morfizmu[2]   jeśli:

  •  
  • dla każdego morfizmu   takiego że   istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm   że  

Kojądro morfizmu   oznacza się  

Jeśli   i   to istnieje jednoznacznie określony izomorfizm   że  

Na odwrót, jeśli   i   jest izomorfizmem, to   jest kojądrem morfizmu   Zatem wszystkie kojądra morfizmu   tworzą obiekt ilorazowy obiektu   który oznacza się  

Pojęcie to jest dualne do pojęcia jądra morfizmu. W kategoriach przestrzeni wektorowych, grup, pierścieni i innych struktur algebraicznych opisuje największy obiekt ilorazowy obiektu   zerujący obraz homomorfizmu  

Własności kojądra morfizmuEdytuj

  • Jeśli   to   jest epimorfizmem konormalnym. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.
  • Kojądro morfizmu zerowego   jest równe  
  • Kojądro morfizmu   istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w   jest obiekt zerowy.

PrzypisyEdytuj

  1. Математическая энциклопедия, t. 5, op. cit., s. 1044.
  2. Математическая энциклопедия, t. 3, op. cit., s. 74.

BibliografiaEdytuj

  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985.
  • Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982.
  • Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972.
  • Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971.
  • Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.