Jądro (teoria kategorii)

Pojęcie, którego szczególnymi przypadkami są: jądro homomorfizmu grup, jądro homomorfizmu pierścieni, modułów itp.

Jądro morfizmu

Niech ${\mathfrak {K}}$ będzie kategorią z morfizmami zerowymi.

Ilustracja definicji jądra morfizmu

Morfizm $\mu \colon K\to A$ nazywamy jądrem morfizmu $\alpha \colon A\to B,$ jeśli:

• $\alpha \mu =0$
• dla każdego morfizmu $\varphi \colon H\to A,$ takiego że $\alpha \varphi =0$ istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm $\psi \colon H\to K,$ że $\varphi =\mu \psi .$

Jądro morfizmu $\alpha$ oznaczane jest przez $\ker \alpha .$

Jeśli $\mu =\ker \alpha$ i $\mu '=\ker \alpha ,$ to istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony izomorfizm $\xi ,$ że $\mu '=\mu \xi .$ Na odwrót, jeśli $\mu =\ker \alpha$ i $\xi$ jest izomorfizmem, to morfizm $\mu '=\mu \xi$ jest jądrem $\alpha .$ Zatem wszystkie jądra morfizmu $\alpha$ tworzą podobiekt obiektu $A,$ który oznaczany jest przez $\mathrm {Ker} \,\alpha .$

Własności jądra morfizmu

• Jeśli $\mu =\ker \alpha ,$ to $\mu$ jest monomorfizmem normalnym. Twierdzenie przeciwne nie jest prawdziwe.
• Jądrem morfizmu zerowego $0\colon A\to B$ jest morfizm jednostkowy $1_{A}.$
• Jądro morfizmu jednostkowego istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w ${\mathfrak {K}}$ istnieje obiekt zerowy.
• Nie w każdej kategorii z morfizmami zerowymi każdy morfizm ma jądro.
• W kategorii ${\mathfrak {K}}$ z obiektem zerowym morfizm $\alpha \colon A\to B$ posiada jądro wtedy i tylko wtedy, gdy w ${\mathfrak {K}}$ istnieje kwadrat uniwersalny względem morfizmów $\alpha$ i $0\colon 0\to B.$ Warunek ten jest spełniony w szczególności dla dowolnego morfizmu lokalnie małej lewostronnie kategorii z obiektem zerowym i koiloczynem.

Kojądro morfizmu

Ilustracja definicji kojądra morfizmu

Niech ${\mathfrak {K}}$ będzie kategorią z morfizmami zerowymi. Morfizm $\nu \colon B\to C$ nazywa się kojądrem morfizmu $\alpha \colon A\to B,$ jeśli:

• $\alpha \nu =0$
• dla każdego morfizmu $\varphi \colon B\to D,$ takiego że $\varphi \alpha =0$ istnieje taki, jednoznacznie wyznaczony, morfizm $\psi \colon C\to D,$ że $\varphi =\psi \nu .$

Kojądro morfizmu $\alpha$ oznacza się $\mathrm {coker} \,\alpha .$

Jeśli $\nu =\mathrm {coker} \,\alpha$ i $\nu '=\mathrm {coker} \,\alpha ,$ to istnieje jednoznacznie określony izomorfizm $\xi ,$ że $\nu '=\xi \nu .$

Na odwrót, jeśli $\nu =\mathrm {coker} \,\alpha$ i $\xi$ jest izomorfizmem, to $\nu '=\xi \nu$ jest kojądrem morfizmu $\alpha .$ Zatem wszystkie kojądra morfizmu $\alpha$ tworzą obiekt ilorazowy obiektu $B,$ który oznacza się $\mathrm {Coker} \,\alpha .$

Pojęcie to jest dualne do pojęcia jądra morfizmu. W kategoriach przestrzeni wektorowych, grup, pierścieni i innych struktur algebraicznych opisuje największy obiekt ilorazowy obiektu $B$ zerujący obraz homomorfizmu $\alpha \colon A\to B.$

Własności kojądra morfizmu

• Jeśli $\nu =\mathrm {coker} \,\alpha ,$ to $\nu$ jest epimorfizmem konormalnym. Twierdzenie odwrotne nie jest na ogół prawdziwe.
• Kojądro morfizmu zerowego $0\colon A\to B$ jest równe $1_{B}.$
• Kojądro morfizmu $1_{A}$ istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy w ${\mathfrak {K}}$ jest obiekt zerowy.

Bibliografia

• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 5. Москва: Советская энциклопедия, 1985. Brak numerów stron w książce
• Математическая энциклопедия. Виноградов И.М. (red.). T. 3. Москва: Советская энциклопедия, 1982. Brak numerów stron w książce
• Bucur I., Deleanu A.: Introduction to the Theory of Categories and Functors (tłum. ros.). Москва: Мир, 1972. Brak numerów stron w książce
• Gabriel P., Zisman M.: Calculus of Fractions and Homotopy Theory (tłum. ros.). Москва: Мир, 1971. Brak numerów stron w książce
• Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45. Brak numerów stron w książce