Endomorfizm Frobeniusa

Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą $p,$ w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego $p$-tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

Definicja

Niech $R$ będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą $p$ (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa $F$ określony jest wzorem

$F(r)=r^{p}$

dla wszystkich elementów $r\in R.$ Jest on zgodny z mnożeniem w $R,$ gdyż

$F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),$

a ponadto widać, iż $F(1)=1.$ Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w $R.$ Wyrażenie $(r+s)^{p}$ można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ $p$ jest liczbą pierwszą, to dzieli ona $p!,$ lecz nie dzieli $q!$ dla $q<p,$ skąd wynika, że $p$ będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

${\frac {p!}{k!(p-k)!}}$

dla $1\leqslant k\leqslant p-1.$ Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza $r^{p}$ oraz $s^{p}$ są podzielne przez $p,$ które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

$F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s),$

co dowodzi, że $F$ jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności $F$ nie jest automorfizmem. Niech $K$ będzie na ciałem $\mathbf {F} _{p}(t),$ tzn. ciałem skończonym o $p$ elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym $t.$ Okazuje się, że obraz $F$ nie zawiera $t,$ co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element $K,$ którego obrazem w $F$ jest $t.$ Element ten jest funkcją wymierną ${\tfrac {q(t)}{r(t)}},$ której $p$-ta potęga $\left({\tfrac {q(t)}{r(t)}}\right)^{p},$ wynosi $t.$ W związku z tym $p(\deg q-\deg r)=1,$ co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm $F$ nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by $F$ nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień $R$ ma element nilpotentny rzędu nie większego niż $p.$

Punkty stałe

Niech $R$ będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy $R,$ które spełniają równość $x^{p}=x.$ Są to wszystkie pierwiastki równania $x^{p}-x,$ a ponieważ jest ono stopnia $p,$ to może mieć ono co najwyżej $p$ rozwiązań. Są to dokładnie elementy $0,1,2,\ldots ,p-1.$ Wynika stąd, że zbiór punktów stałych $F$ jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów $R$ postaci

$x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots$

Przyłożenie $e$-tej iteracji $F$ do pierścienia zawierającego ciało $K$ o $p^{e}$ elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy $K.$ Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończone

Niech $\mathbf {F} _{q}$ oznacza ciało skończone o $q$ elementach, gdzie $q=p^{e}.$ Zgodnie z powyższym rozumowaniem $F$ ustala $\mathbf {F} ^{p}.$ Jeżeli $e=2,$ to $F^{2},$ druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala $p^{2}$ elementów, zatem ustala także $\mathbf {F} ^{p^{2}}.$ W ogólności $F^{e}$ ustala $\mathbf {F} ^{p^{e}}.$ Co więcej, $F$ generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

Schematy

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech $X$ będzie schematem nad ciałem $k$ charakterystyki $p.$ Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny $U=\operatorname {Spec} \;R$ (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ $X$ jest $k$-schematem, to $k$ zawiera się w $R.$ Powoduje to, iż $R$ musi być pierścieniem charakterystyki $p,$ dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa $F$ dla $R$ jak wyżej. Przekształcenie $F$ komutuje z lokalizacją, przez co $F$ skleja się dając endomorfizm $X.$

Jednakże $F$ nie musi być endomorfizmem $k$-schematów. Jeżeli $k$ nie jest $\mathbf {F} ^{p},$ to $F$ nie ustali $k$ i w konsekwencji nie będzie przekształceniem $k$-algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie $F(k)=k^{p}$ w $k{:}$ ponieważ $X$ jest $k$-schematem, to jest także $k^{p}$-schematem. W ten sposób $F$ jest także odwzorowaniem $k^{p}$-schematów.

Ciała lokalne

Definicja $F$ dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego $L/K$ ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech $L/K$ będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz z pierścieniem liczb całkowitych ${\mathcal {O}}_{K}$ ciała $K$ takim, że ciało reszt – liczby całkowite $K$ modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny $\varphi$ – jest ciałem skończonym rzędu $q.$ Jeżeli $\Phi$ jest ideałem pierwszym $L$ nad $\varphi ,$ to nierozgałęzienie $L/K$ oznacza, że liczby całkowite ciała $L$ modulo $\Phi ,$ ciała reszt $L,$ jest ciałem skończonym rzędu $q^{f}$ stanowiącym rozszerzenie ciała reszt $K,$ gdzie $f$ oznacza stopień $L/K.$ Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych ${\mathcal {O}}_{L}$ ciała $L$ wzorem

$s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .$

Ciała globalne

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń $L/K$ ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych $\Phi$ ciała $L$ nierozgałęzionych w $L/K.$ Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu $\Phi$ jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych $L,$ jak w przypadku lokalnym, wzorem

$s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,$

gdzie $q$ jest rzędem ciała rozkładu ${\mathcal {O}}_{K}\mod \Phi .$

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

Przykłady

Wielomian $x^{5}-x-1$ ma wyróżnik równy $15\cdot 151,$ jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej $3;$ jest także nierozkładalny modulo $3.$ Dlatego dołączenie jego pierwiastka $\rho$ do ciała liczb $3$-adycznych $\mathbb {Q} _{3}$ daje nierozgałęzione rozszerzenie $\mathbb {Q} _{3}(\rho )$ ciała $\mathbb {Q} _{3}.$ Można znaleźć obraz $\rho$ w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego $\rho ^{3}.$ co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych $\mathbb {Z} _{3}[\rho ];$ jest to wielomian czwartego stopnia względem $\rho$ o współczynnikach będących $3$-adycznymi liczbami całkowitymi $\mathbb {Z} _{3}.$ Wielomianem tym, modulo $3^{8},$ jest

$\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4}).$

Jest on algebraiczny nad $\mathbb {Q}$ i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia $\mathbb {Q}$ w $\mathbb {Q} _{3};$ co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia $120,$ rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki $p$-adyczne.

Jeżeli $L/K$ jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego $\varphi$ wyjściowego ciała $K.$ Rozważając przykładowo rozszerzenie $\mathbb {Q} (\beta )$ ciała $\mathbb {Q}$ uzyskanego przez dołączenie pierwiastka $\beta$ spełniającego

$\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0$

do $\mathbb {Q}$ widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

$2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}},$

gdzie $n$ jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej $\beta {:}$

$\beta ^{2}-2,\;\beta ^{3}-3\beta ,\;\beta ^{5}-5\beta ^{3}+5\beta$

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych $2,3,5$ i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od $11$ lub postaci $22n+1$ (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo $p$ dla $p$-tej potęgi pierwiastka $\beta .$

Zobacz też

• ciało doskonałe