Endomorfizm Frobeniusa

Endomorfizm Frobeniusa – szczególny endomorfizm pierścieni przemiennych o charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą w szczególności ciał. Endomorfizm przekształca każdy element w jego -tą potęgę. W niektórych okolicznościach endomorfizm ten jest automorfizmem, lecz nie jest to prawdą w ogólności. Nosi on miano od nazwiska Ferdinanda Georga Frobeniusa, matematyka.

DefinicjaEdytuj

Niech   będzie pierścieniem przemiennym o (dodatniej) charakterystyce wyrażającej się liczbą pierwszą   (charakterystyka zawsze jest liczbą pierwszą, jeżeli pierścień jest przykładowo dziedziną całkowitości). Endomorfizm Frobeniusa   określony jest wzorem

 

dla wszystkich elementów   Jest on zgodny z mnożeniem w   gdyż

 

a ponadto widać, iż   Interesujące jest jednak, że jest on również zgodny z dodawaniem w   Wyrażenie   można rozwinąć za pomocą twierdzenia o dwumianie: ponieważ   jest liczbą pierwszą, to dzieli ona   lecz nie dzieli   dla   skąd wynika, że   będzie dzielić licznik, ale nie mianownik jawnego wzoru na współczynniki dwumienne

 

dla   Dlatego też współczynniki wszystkich wyrazów poza   oraz   są podzielne przez   które jest charakterystyką, przez co znikają. Zatem

 

co dowodzi, że   jest homomorfizmem pierścieni.

W ogólności   nie jest automorfizmem. Niech   będzie na ciałem   tzn. ciałem skończonym o   elementach z dołączonym jednym elementem przestępnym   Okazuje się, że obraz   nie zawiera   co można pokazać przez sprzeczność: niech istnieje taki element   którego obrazem w   jest   Element ten jest funkcją wymierną   której  -ta potęga   wynosi   W związku z tym   co jest niemożliwe. W ten sposób endomorfizm   nie jest suriektywny, przez co nie jest automorfizmem.

Jest również możliwe, by   nie było iniektywne; dzieje się tak wtedy i tylko wtedy, gdy pierścień   ma element nilpotentny rzędu nie większego niż  

Punkty stałeEdytuj

Niech   będzie dziedziną całkowitości. Przekształcenie Frobeniusa przekształca na siebie wszystkie elementy   które spełniają równość   Są to wszystkie pierwiastki równania   a ponieważ jest ono stopnia   to może mieć ono co najwyżej   rozwiązań. Są to dokładnie elementy   Wynika stąd, że zbiór punktów stałych   jest ciałem prostym.

Iterowanie odwzorowania Frobeniusa daje ciąg elementów   postaci

 

Przyłożenie  -tej iteracji   do pierścienia zawierającego ciało   o   elementach daje, podobnie jak w powyższym przykładzie, zbiór punktów stałych równy   Iteracje przekształcenia Frobeniusa wykorzystuje się również do definiowania domknięcia Frobeniusa i domknięcia ciasnego (ang. tight closure) ideału.

Ciała skończoneEdytuj

Niech   oznacza ciało skończone o   elementach, gdzie   Zgodnie z powyższym rozumowaniem   ustala   Jeżeli   to   druga iteracja przekształcenia Frobeniusa, ustala   elementów, zatem ustala także   W ogólności   ustala   Co więcej,   generuje grupę Galois dowolnego rozszerzenia ciał skończonych.

SchematyEdytuj

Korzystając z powyższej obserwacji łatwo rozszerzyć przekształcenie Frobeniusa na schematy. Niech   będzie schematem nad ciałem   charakterystyki   Wybierzmy dowolny podzbiór afiniczny   (zob. spektrum pierścienia). Ponieważ   jest  -schematem, to   zawiera się w   Powoduje to, iż   musi być pierścieniem charakterystyki   dzięki czemu można zdefiniować endomorfizm Frobeniusa   dla   jak wyżej. Przekształcenie   komutuje z lokalizacją, przez co   skleja się dając endomorfizm  

Jednakże   nie musi być endomorfizmem  -schematów. Jeżeli   nie jest   to   nie ustali   i w konsekwencji nie będzie przekształceniem  -algebr. Częściowym rozwiązaniem tego problemu jest zwrócenie uwagi na zawieranie   w   ponieważ   jest  -schematem, to jest także  -schematem. W ten sposób   jest także odwzorowaniem  -schematów.

Ciała lokalneEdytuj

Definicja   dla schematów automatycznie przenosi się na definicje dla ciał lokalnych i globalnych, jednak ze względu na jasność opisu przypadki te zostaną potraktowane osobno.

Definicję endomorfizmu Frobeniusa dla ciał skończonych można rozszerzyć na inne rodzaje rozszerzeń ciał. Dla nierozgałęzionego rozszerzenia skończonego   ciał lokalnych istnieje pojęcie endomorfizmu Frobieniusa, które indukuje endomorfizm Frobeniusa na odpowiadającym rozszerzeniu ciał reszt.

Niech   będzie nierozgałęzionym rozszerzeniem ciał lokalnych wraz z pierścieniem liczb całkowitych   ciała   takim, że ciało reszt – liczby całkowite   modulo ich jednoznacznie określony ideał maksymalny   – jest ciałem skończonym rzędu   Jeżeli   jest ideałem pierwszym   nad   to nierozgałęzienie   oznacza, że liczby całkowite ciała   modulo   ciała reszt   jest ciałem skończonym rzędu   stanowiącym rozszerzenie ciała reszt   gdzie   oznacza stopień   Przekształcenie Frobeniusa można zdefiniować dla elementów pierścienia liczb całkowitych   ciała   wzorem

 

Ciała globalneEdytuj

W algebraicznej teorii liczb elementy Frobeniusa są zdefiniowane dla rozszerzeń   ciał globalnych, które są skończonymi rozszerzeniami Galois dla ideałów pierwszych   ciała   nierozgałęzionych w   Ponieważ rozszerzenie jest nierozgałęzione, to grupa rozkładu   jest grupą Galois rozszerzenia ciał reszt. Element Frobeniusa może być określony dla elementów pierścienia liczb całkowitych   jak w przypadku lokalnym, wzorem

 

gdzie   jest rzędem ciała rozkładu  

Podniesienia endomorfizmów Frobeniusa są związane z p-pochodnymi.

PrzykładyEdytuj

Wielomian   ma wyróżnik równy   jest więc nierozgałęziony dla liczby pierwszej   jest także nierozkładalny modulo   Dlatego dołączenie jego pierwiastka   do ciała liczb  -adycznych   daje nierozgałęzione rozszerzenie   ciała   Można znaleźć obraz   w przekształceniu Frobeniusa poprzez wskazanie pierwiastka najbliższego   co można osiągnąć metodą Newtona. W ten sposób uzyskuje się element pierścienia liczb całkowitych   jest to wielomian czwartego stopnia względem   o współczynnikach będących  -adycznymi liczbami całkowitymi   Wielomianem tym, modulo   jest

 

Jest on algebraiczny nad   i jest poprawnym obrazem endomorfizmu Frobeniusa w sensie zanurzenia   w   co więcej algebraiczne są współczynniki, dlatego wynik może być wyrażony algebraicznie. Jednakże są one stopnia   rzędu grupy Galois, co ilustruje fakt, iż obliczenia będą prostsze, jeżeli wystarczające będą wyniki  -adyczne.

Jeżeli   jest rozszerzeniem abelowym ciał globalnych, to można uzyskać o wiele silniejsze przystawanie, ponieważ zależy ona tylko od elementu pierwszego   wyjściowego ciała   Rozważając przykładowo rozszerzenie   ciała   uzyskanego przez dołączenie pierwiastka   spełniającego

 

do   widać, iż rozszerzenie to jest cykliczne rzędu piątego i ma pierwiastki

 

gdzie   jest liczbą całkowitą. Ma ono pierwiastki będące wielomianami Czebyszewa zmiennej  

 

są wynikami przekształcenia Frobeniusa dla liczb pierwszych   i tak dalej, dla większych liczb pierwszych różnych od   lub postaci   (które to są rozdzielcze). Widać wprost jak przekształcenie Frobeniusa daje wynik z dokładnością modulo   dla  -tej potęgi pierwiastka  

Zobacz teżEdytuj