Rozszerzenie Galois

Rozszerzenie Galois – rozszerzenie algebraiczne danego ciała takie, że istnieje grupa automorfizmów ciała ze względu na którą jest ciałem elementów stałych.

DefinicjaEdytuj

Rozszerzeniem Galois danego ciała   nazywa się takie rozszerzenie algebraiczne   ciała   takie, że istnieje grupa   automorfizmów ciała   taka, że:  [1], gdzie  [2].

WłasnościEdytuj

Dane rozszerzenie algebraiczne ciała   jest rozszerzeniem Galois wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem normalnym i rozdzielczym[1].

Dowód
 

Sprawdźmy, że rozszerzenie Galois musi być normalne i rozdzielcze. Skoro jest to rozszerzenie Galois, to z definicji istnieje grupa   automorfizmów ciała   dla której   jest ciałem elementów stałych, tzn.   Ustalmy   oraz nierozkładalny wielomian   z pierścienia   taki, że   Udowodnimy następnie, że   stanowi iloczyn czynników liniowych należących do   ale nie do   Weźmy dowolny endomorfizm   i zauważmy, że wielomian   przyjmuje w punkcie   wartość   (jest tak, ponieważ  ). Tak więc   jest pierwiastkiem wielomianu   a zbiór   jest skończony. To znaczy, że dla danego   istnieć może jedynie skończona liczba różnych   pomimo dowolnie wybieranych endomorfizmów. Oznaczmy te elementy jako   Zauważmy, że dowolny automorfizm   przekształca dowolny zbiór skończony w siebie, w szczególności:   Niech będzie dany wielomian   wtedy   Ponieważ wspomniane dwa zbiory są równe, to każdy z tych wielomianów składa się z dokładnie tych samych czynników (różniących się tylko kolejnością), a stąd wynika równość wielomianów:   Tak więc dowolnie wybrany automorfizm   nie zmienia wielomianu   Wobec tego współczynniki tego wielomianu należą do ciała   Sam wielomian   należy w takim razie do pierścienia   Wybrano go tak, że ma on wyłącznie pierwiastki jednokrotne i to będące zarazem pierwiastkami   Wynika stąd, że wielomian   dzieli wielomian   Nierozkładalny wielomian   musi być więc równy iloczynowi wielomianu   oraz pewnego niezerowego elementu ciała   Stąd wnioskujemy, że   stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia  [1].

 

Udowodnimy, że rozszerzenie normalne i rozdzielcze jest rozszerzeniem Galois. Z założenia, dla   wielomian   dla którego   jest pierwiastkiem, stanowi iloczyn różnych wielomianów liniowych należących do pierścienia   Niech   Wtedy rozpatrywany wielomian   jest stopnia silnie większego od 1, wobec czego posiada on jeszcze jeden inny pierwiastek   Musi więc istnieć homomorfizm pomiędzy rozszerzeniami   przekształcający   w   będący  -izomorfizmem. Da się go rozszerzyć do  -izomorfizmu   gdzie   jest zbiorem wszystkich elementów algebraicznych względem ciała   Izomorfizm ten przekształca ciało   na siebie (stanowi jego  -automorfizm), a restrykcja   W dalszym ciągu przekształca on   w różne od niego   Wynika stąd, że dowolny element należący do   ale nie do   nie jest zachowywany przez wszystkie automorfizmy grupy   Inaczej mówiąc,   q.e.d.[1]

Wynika stąd także, że w przypadku ciała doskonałego jego rozszerzenie jest normalne wtedy i tylko wtedy, gdy jest rozszerzeniem Galois. Z kolei dane ciało posiada swoje skończone rozszerzenie Galois wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenie to będzie ciałem rozkładu dla pewnego wielomianu o współczynnikach z wyjściowego ciała, posiadającego pierwiastki jednokrotne. Ten ostatni wniosek wynika z tego, że rozszerzenia o podanych właściwościach muszą być skończone, normalne i rozdzielcze[3].

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d Browkin 1977 ↓, s. 124.
  2. Browkin 1977 ↓, s. 120.
  3. Browkin 1977 ↓, s. 125.

BibliografiaEdytuj

  • Jerzy Browkin: Teoria ciał. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977, seria: Biblioteka Matematyczna.