Rozszerzenie ciała

Rozszerzenie ciała – większe (w sensie inkluzji) ciało zawierające dane ciało. Na przykład ciało liczb rzeczywistych jest rozszerzeniem ciała liczb wymiernych; ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciał liczb rzeczywistych (więc także wymiernych). Rozszerzenia ciał są centralnym pojęciem teorii Galois. Wyróżnia się wiele rodzajów rozszerzeń ciał ze względu na ich własności.

Każde rozszerzenie ciała oznaczane zwyczajowo lub [a], jest przestrzenią liniową nad Wymiar tej przestrzeni oznacza się przez i nazywa stopniem rozszerzenia

Rozszerzenie ciała o pierwiastki wielomianuEdytuj

Z teorii równań algebraicznych wynika, że każdy niesprzeczny układ równań nad ciałem   ma rozwiązanie w pewnym ciele   W szczególności, jeżeli   jest wielomianem o współczynnikach z ciała   to istnieje rozszerzenie   ciała   które zawiera pierwiastek   wielomianu  

Mówimy, że ciało   jest rozszerzeniem ciała   o pierwiastek   wielomianu   wtedy i tylko wtedy, gdy  [b].

Dla przykładu, ciało liczb zespolonych jest rozszerzeniem ciała liczb rzeczywistych o pierwiastek wielomianu  

Jeśli   jest rozszerzeniem ciała   oraz   to

 

Rozszerzenie o pierwiastek danego wielomianu nie jest wyznaczone jednoznacznie w przypadku gdy wielomian jest rozkładalny. W przypadku gdy dany wielomian jest nierozkładalny, to rozszerzenia wyznacza się z dokładnością do izomorfizmu.

Ciało rozkładu wielomianuEdytuj

Mówimy, że ciało   jest ciałem rozkładu wielomianu   wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian   rozkłada się w pierścieniu   na czynniki liniowe oraz

 

gdzie   są wszystkimi pierwiastkami   w ciele  

Dla każdego wielomianu stopnia dodatniego istnieje jego ciało rozkładu. Dowolne dwa ciała rozkładu tego wielomianu są izomorficzne.

Rozszerzenie algebraiczneEdytuj

Zobacz też: element algebraiczny.

Rozszerzenie   ciała   nazywamy algebraicznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element   jest algebraiczny nad  

Dla przykładu, każdy element ciała skończonego jest algebraiczny nad podciałem prostym, zawartym w tym ciele.

Dla rozszerzenia   i   następujące warunki są równoważne

  •   jest algebraiczny nad  
  •  
  •  

Stopień rozszerzenia   nazywa się stopniem elementu algebraicznego   Stopień ten jest równy stopniowi wielomianu nierozkładalnego   takiemu, że   a także minimalnemu stopniowi niezerowego wielomianu   takiego, że  

Rozszerzenie rozdzielczeEdytuj

Zobacz też: element rozdzielczy.

Rozszerzenie   ciała   nazywamy rozdzielczym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy element   jest rozdzielczy nad  

Jeśli ciało   ma charakterystykę równą   to każde jego rozszerzenie algebraiczne jest rozdzielcze. W szczególności, każde algebraiczne rozszerzenie ciała liczb wymiernych jest rozdzielcze.

Rozszerzenie czysto przestępneEdytuj

Rozszerzenie   ciała   nazywamy czysto przestępnym wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje zbiór algebraicznie niezależny   taki że  

Rozszerzenia skończoneEdytuj

Rozszerzenie   ciała   nazywa się skończonym wtedy i tylko wtedy, gdy ma skończony stopień, tzn.  

Każde rozszerzenie skończone jest algebraiczne. Jeśli   jest ciągiem rozszerzeń ciał, to rozszerzenie   jest skończone wtedy i tylko wtedy, gdy rozszerzenia   i   są skończone. Ponadto

 

Rozszerzenie normalneEdytuj

Osobny artykuł: Rozszerzenie normalne.

Rozszerzenie   ciała   nazywamy normalnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest algebraiczne i dla każdego   wielomian nierozkładalny   którego pierwiastkiem jest   rozkłada się w   na czynniki liniowe.

UwagiEdytuj

  1. Oznaczenie to nie będzie stosowane w dalszej części artykułu jako mylące (pokrywającej się z oznaczeniem struktur ilorazowych).
  2. W dalszej części artykułu   będzie oznaczać najmniejsze (w sensie inkluzji) ciało zawierające zbiór   natomiast przez   najmniejszy (w sensie inkluzji) pierścień zawierający ten zbiór.

BibliografiaEdytuj