Element rozdzielczy

Element rozdzielczyelement algebraiczny, którego wielomian minimalny ma wyłącznie pierwiastki jednokrotne.

Element należący do ciała zawierającego ciało algebraiczny nad tym jest elementem rodzielczym względem jeżeli jest pierwiastkiem wielomianu nierozkładalnego należącego do o niezerowej pochodnej[1].

W przypadku rozszerzeń ciał mówić można o elementach algebraicznych i przestępnych. Rozszerzając wyjściowe ciało o pewien element ciała takiego, że zajść mogą dwie sytuacje[2]:

  • element ten może być pierwiastkiem pewnego niezerowego wielomianu o współczynnikach wziętych z tzn. – w takim wypadku określa się mianem elementu algebraicznego
  • element ten nie jest pierwiastkiem żadnego wielomianu z z wyjątkiem wielomianu zerowego – mówi się o elemencie przestępnym[2].

Każdy element rozdzielczy jest algebraiczny[1], a więc istnieje niezerowy wielomian z pierścienia wielomianów który przyjmuje po podstawieniu wartość [2]. Elementy algebraiczne nad ciałem można w dalszym ciągu pogrupować. W ich klasyfikacji istotne znaczenie będą miały właściwości samego w szczególności jego charakterystyka[1]. Otóż dowodzi się, że iloczyn wszystkich podciał danego ciała również sam stanowi ciało[3], nazywane podciałem prostym. Dowodzi się dalej, że jest ono izomorficzne albo z ciałem liczb wymiernych, albo z ciałem p-elementowym, czyli takim, którego liczba elementów jest liczbą pierwszą. W pierwszym przypadku przyjmuje się, że charakterystyka danego ciała wynosi 0, w drugim – przypisuje się wartość rzeczonej liczby pierwszej[1].

W przypadku ciała o zerowej charakterystyce każdy element algebraiczny nad jest zarazem względem rozdzielczy[1]. Jeżeli bowiem to dla każdego niezerowego wielomianu stopnia jego wartość nie będzie równa musi więc być pierwiastkiem wielomianu o stopniu wyższym niż stopnia przynajmniej pierwszego[1]. Korzystając zaś z wzoru na pochodną wielomianu dla kolejnych jednomianów [4], wielomiany takie nie będą miały zerowej pochodnej[5].

Sytuacja komplikuje się w przypadku ciał o niezerowej charakterystyce. Otóż w pierścieniu wielomianów tego ciała znaleźć można wielomiany stopnia niezerowego, których pochodna znika. Dzieje się tak mianowicie wtedy, kiedy dany wielomian gdzie jest charakterystyką rozpatrywanego ciała. Dla każdego wielomianu z tego ostatniego pierścienia można go bowiem zastąpić przez inny wielomian wzięty z w ten sposób, że czyli że argumentem jest podniesione do potęgi Z właściwości ciała o charakterystyce wynika, że pochodna tegoż wynosi Z równości i wnosi się następnie o równości ich pochodnych, a wyliczając pochodną korzysta się z wzoru na pochodną funkcji zagnieżdżonej w innej funkcji, tak więc a ostatni czynnik, jak wcześniej wskazano, wynosi Wobec tego cały iloczyn i w efekcie pochodna także wynoszą I w drugą stronę, jeśli pochodna danego wielomianu znika, mając postać sumy jednomianów wyrażających się przez dla kolejnych aż do stopnia to wszystkie iloczyny muszą mieć wartość Tak więc musi być zerowe lub też Drugi człon alternatywy będzie spełniony, jeśli będzie wielokrotnością Każdy z takich jednomianów będzie się więc wyrażał jako dla pewnego całkowitego [5]. Wynika stąd wniosek, że pierwiastek takiego wielomianu, choć będzie elementem algebraicznym nad nie będzie elementem rozdzielczym nad tym ciałem[1].

PrzypisyEdytuj

  1. a b c d e f g Browkin 1977 ↓, s. 75.
  2. a b c Browkin 1977 ↓, s. 69–70.
  3. Browkin 1977 ↓, s. 64.
  4. Browkin 1977 ↓, s. 73.
  5. a b Browkin 1977 ↓, s. 74.

BibliografiaEdytuj

  • Jerzy Browkin, Teoria ciał, Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1977 (pol.).